Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(e^{2 x} - e^{- 2 x})}^{2} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réécrivez ${(e^{2 x} - e^{- 2 x})}^{2}$ comme $(e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x})$ .

$\int (e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.2

Développez $(e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{2 x} e^{2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{2 x} e^{2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $e^{2 x}$ par $e^{2 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{2 x + 2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.3.1.1.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\int e^{4 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int e^{4 x} - e^{2 x} e^{- 2 x} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $e^{2 x}$ par $e^{- 2 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.3.1

Déplacez $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{4 x} - (e^{- 2 x} e^{2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.3.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{4 x} - e^{- 2 x + 2 x} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.3.1.3.3

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\int e^{4 x} - e^{0} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.3.1.4

Simplifiez $- e^{0}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $e^{2 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.5.1

Déplacez $e^{2 x}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - (e^{2 x} e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{4 x} - 1 - e^{2 x - 2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.3.1.5.3

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\int e^{4 x} - 1 - e^{0} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.3.1.6

Simplifiez $- e^{0}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.3.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} e^{- 2 x} d x$

Étape 1.3.1.8

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $e^{- 2 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.8.1

Déplacez $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- 2 x} e^{- 2 x}) d x$

Étape 1.3.1.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x - 2 x} d x$

Étape 1.3.1.8.3

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 4 x} d x$

Étape 1.3.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 4 x} d x$

Étape 1.3.1.10

Multipliez $e^{- 4 x}$ par $1$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 + e^{- 4 x} d x$

Étape 1.3.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\int e^{4 x} - 2 + e^{- 4 x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{4 x} d x + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Alors $d u_{1} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 3.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Étape 4

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{- 4 x} d x$

Étape 8

Laissez $u_{2} = - 4 x$ . Alors $d u_{2} = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{2} = - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 8.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Étape 9.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Étape 11

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{1}{4} e^{u_{1}} - 2 x - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 x - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 4 x$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 x - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$