Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{5}{x^{3}} + 3 \sqrt[4]{y} = 18$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{y}$ comme $y^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}} = 18$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}) = \frac{d}{d x} (18)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$5 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$5 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$5 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$5 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.2.8

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$- 15 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{\frac{1}{4}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} y')$

Étape 3.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} y')$

Étape 3.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} y')$

Étape 3.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} y')$

Étape 3.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 4}{4}} y')$

Étape 3.3.7.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{- 3}{4}} y')$

Étape 3.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{- \frac{3}{4}} y')$

Étape 3.3.9

Associez $\frac{1}{4}$ et $y^{- \frac{3}{4}}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4} y')$

Étape 3.3.10

Associez $\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4}$ et $y'$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y^{- \frac{3}{4}} y'}{4}$

Étape 3.3.11

Placez $y^{- \frac{3}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Étape 3.3.12

Associez $3$ et $\frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$ .

$- 15 x^{- 4} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $- 15$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Étape 3.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Étape 4

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 0$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Ajoutez $\frac{15}{x^{4}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = \frac{15}{x^{4}}$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par $4 y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Étape 6.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Étape 6.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 6.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Étape 6.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 y' = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez $\frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 y' = 4 \frac{15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Étape 6.3.2.1.2

Multipliez $4 \frac{15}{x^{4}}$ .

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Étape 6.3.2.1.2.1

Associez $4$ et $\frac{15}{x^{4}}$ .

$3 y' = \frac{4 \cdot 15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Étape 6.3.2.1.2.2

Multipliez $4$ par $15$ .

$3 y' = \frac{60}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Étape 6.3.2.1.3

Associez $\frac{60}{x^{4}}$ et $y^{\frac{3}{4}}$ .

$3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ par $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.4.3.2

Associez.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4} \cdot 3}$

Étape 6.4.3.3

Factorisez $3$ à partir de $60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1$ .

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{x^{4} \cdot 3}$

Étape 6.4.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $x^{4} \cdot 3$ .

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

Étape 6.4.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

Étape 6.4.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4}}$

Étape 6.4.3.5

Multipliez $20$ par $1$ .

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$