Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} - 6 x y = 0$ , $(\frac{4}{3}, \frac{8}{3})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 6 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3} - 6 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 x y]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 x y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 x y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 6 x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x y$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 (x y' + y)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 (x y') - 6 y$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y' - 6 y$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y' - 6 y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 6 x y' - 6 y = - 3 x^{2}$

Étape 5.1.2

Ajoutez $6 y$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 6 x y' = - 3 x^{2} + 6 y$

Étape 5.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 6 x y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 6 x y' = - 3 x^{2} + 6 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $- 6 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x) = - 3 x^{2} + 6 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 2 x) = - 3 x^{2} + 6 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 y' (y^{2} - 2 x) = - 3 x^{2} + 6 y$ par $3 (y^{2} - 2 x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y' (y^{2} - 2 x) = - 3 x^{2} + 6 y$ par $3 (y^{2} - 2 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 2 x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 2 x} + \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x} + \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6 y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x} + \frac{2 y}{y^{2} - 2 x}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- x^{2} + 2 y}{y^{2} - 2 x}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) + 2 y}{y^{2} - 2 x}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 2 y)}{y^{2} - 2 x}$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- (x^{2} - 2 y)}{y^{2} - 2 x}$

Étape 5.3.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.2.5.1

Réécrivez $- (x^{2} - 2 y)$ comme $- 1 (x^{2} - 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 2 y)}{y^{2} - 2 x}$

Étape 5.3.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x^{2} - 2 y}{y^{2} - 2 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 2 y}{y^{2} - 2 x}$

Étape 7

Évaluez sur $x = \frac{4}{3}$ sur $y = \frac{8}{3}$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4}{3}$ dans l’expression.

$- \frac{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 y}{y^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.2

Remplacez la variable $y$ par $\frac{8}{3}$ dans l’expression.

$- \frac{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2 (\frac{8}{3})}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{\frac{4^{2}}{3^{2}} - 2 (\frac{8}{3})}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\frac{16}{3^{2}} - 2 (\frac{8}{3})}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\frac{16}{9} - 2 (\frac{8}{3})}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.3.4

Multipliez $- 2 (\frac{8}{3})$ .

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Étape 7.3.4.1

Associez $- 2$ et $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{\frac{16}{9} + \frac{- 2 \cdot 8}{3}}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.3.4.2

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$- \frac{\frac{16}{9} + \frac{- 16}{3}}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\frac{16}{9} - \frac{16}{3}}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.3.6

Pour écrire $- \frac{16}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{16}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.7.1

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.3.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{\frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{16 - 16 \cdot 3}{9}}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.9.1

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$- \frac{\frac{16 - 48}{9}}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.3.9.2

Soustrayez $48$ de $16$ .

$- \frac{\frac{- 32}{9}}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{- \frac{32}{9}}{{(\frac{8}{3})}^{2} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{- \frac{32}{9}}{\frac{8^{2}}{3^{2}} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.4.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- \frac{- \frac{32}{9}}{\frac{64}{3^{2}} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.4.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{- \frac{32}{9}}{\frac{64}{9} - 2 (\frac{4}{3})}$

Étape 7.4.4

Multipliez $- 2 (\frac{4}{3})$ .

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Étape 7.4.4.1

Associez $- 2$ et $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{- \frac{32}{9}}{\frac{64}{9} + \frac{- 2 \cdot 4}{3}}$

Étape 7.4.4.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- \frac{- \frac{32}{9}}{\frac{64}{9} + \frac{- 8}{3}}$

Étape 7.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{- \frac{32}{9}}{\frac{64}{9} - \frac{8}{3}}$

Étape 7.4.6

Pour écrire $- \frac{8}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{- \frac{32}{9}}{\frac{64}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 7.4.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.4.7.1

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{- \frac{32}{9}}{\frac{64}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Étape 7.4.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{- \frac{32}{9}}{\frac{64}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}}$

Étape 7.4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{- \frac{32}{9}}{\frac{64 - 8 \cdot 3}{9}}$

Étape 7.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.9.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$- \frac{- \frac{32}{9}}{\frac{64 - 24}{9}}$

Étape 7.4.9.2

Soustrayez $24$ de $64$ .

$- \frac{- \frac{32}{9}}{\frac{40}{9}}$

Étape 7.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (- \frac{32}{9} \cdot \frac{9}{40})$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 7.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{32}{9}$ dans le numérateur.

$- (\frac{- 32}{9} \cdot \frac{9}{40})$

Étape 7.6.2

Factorisez $8$ à partir de $- 32$ .

$- (\frac{8 (- 4)}{9} \cdot \frac{9}{40})$

Étape 7.6.3

Factorisez $8$ à partir de $40$ .

$- (\frac{8 \cdot - 4}{9} \cdot \frac{9}{8 \cdot 5})$

Étape 7.6.4

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{8 \cdot - 4}{9} \cdot \frac{9}{8 \cdot 5})$

Étape 7.6.5

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{- 4}{9} \cdot \frac{9}{5})$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 7.7.1

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{- 4}{9} \cdot \frac{9}{5})$

Étape 7.7.2

Réécrivez l’expression.

$- (- 4 (\frac{1}{5}))$

Étape 7.8

Associez $- 4$ et $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{- 4}{5}$

Étape 7.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{4}{5}$

Étape 7.10

Multipliez $- - \frac{4}{5}$ .

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Étape 7.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{4}{5})$

Étape 7.10.2

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $1$ .

$\frac{4}{5}$