Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + x - 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{2} + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x - 1)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.1.3.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{{(x - 1)}^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $2 x + 1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.7

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1)]}$

Étape 1.3.8

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1)]}$

Étape 1.3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)]}$

Étape 1.3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Étape 1.3.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.9.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Étape 1.3.9.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Étape 1.3.9.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Étape 1.3.9.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1]}$

Étape 1.3.9.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1]}$

Étape 1.3.9.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Étape 1.3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.12

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.14

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.15

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2 + 0}$

Étape 1.3.16

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2}$

Étape 2

Comme la fonction approche de $- \infty$ depuis la gauche et $\infty$ depuis la droite, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$