Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 7 x (8^{- 2 x})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- 7 x \cdot 8^{- 2 x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x \cdot 8^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x \cdot 8^{- 2 x}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x \cdot 8^{- 2 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 8^{- 2 x}$ .

$- 7 (x \frac{d}{d x} [8^{- 2 x}] + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 8^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$- 7 (x (\frac{d}{d u} [8^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $8$ .

$- 7 (x (8^{u} \ln (8) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) (- 2 \cdot 1)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) \cdot - 2) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $8^{- 2 x} \ln (8)$ .

$- 7 (x (- 2 \cdot (8^{- 2 x} \ln (8))) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.3.3

Factorisez le signe négatif.

$- 7 (x (- (2 \cdot 8^{- 2 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.3.4.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- 7 (x (- (2 \cdot {(2^{3})}^{- 2 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.3.4.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{- 2 x}$ .

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Étape 3.4.3.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (x (- (2 \cdot 2^{3 (- 2 x)}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.3.4.2.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 7 (x (- (2 \cdot 2^{- 6 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x} \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $8^{- 2 x}$ par $1$ .

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x})$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8))) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Étape 3.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$7 x (2^{1 - 6 x} \ln (8)) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Étape 3.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$7 \cdot 2^{1 - 6 x} x \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Étape 3.8.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $7 \cdot 2^{1 - 6 x} x \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$ .

$7 x \cdot 2^{1 - 6 x} \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 7 x \cdot (2^{1 - 6 x} \ln (8)) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 7 x \cdot (2^{1 - 6 x} \ln (8)) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$