Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x} e^{- \frac{x}{2}}$

Étape 1

Réécrivez $\sqrt{x} e^{- \frac{x}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

Étape 2.1.2

Lorsque $x$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

Étape 2.1.3

Comme l’exposant $\frac{x}{2}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{\frac{x}{2}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Étape 2.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Étape 2.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Étape 2.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Étape 2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Étape 2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Étape 2.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Étape 2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Étape 2.3.9

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Étape 2.3.9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Étape 2.3.10

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.3.10.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

Étape 2.3.10.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

Étape 2.3.10.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

Étape 2.3.11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 2.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{\frac{x}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1}$

Étape 2.3.14

Multipliez $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

Étape 2.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ par $\frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 \sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

Étape 2.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 \sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

Étape 2.7.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

Étape 2.8

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 2.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}} \sqrt{x}}$

Étape 2.9.2

Déplacez $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Étape 2.9.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Étape 2.9.4

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Étape 2.9.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 2.9.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 2.9.7

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 2.9.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.9.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.9.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.9.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.9.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{1}}$

Étape 2.9.7.5

Simplifiez

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x}$

Étape 2.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Étape 3

Réduisez.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Étape 3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Étape 3.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x e^{\frac{x}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x (e^{\frac{x}{2}})}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}}$

Étape 3.4

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ approche de $0$ .

$0$