Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Développez $(3 x^{2} - 2 x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (3 x^{2} - 2 x) x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 x^{2 - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int 3 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.5

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int 3 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 3 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 3 x^{\frac{4 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.7.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.10

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.12

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.13

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.14

Déplacez $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Étape 12.2

Simplifiez

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 12.3

Simplifiez

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Étape 12.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Étape 12.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 12.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$