Calcul infinitésimal Exemples

$y = \csc (x) (x + \cot (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = x + \cot (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [x + \cot (x)] + (x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \cot (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\csc (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + (x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\csc (x) (1 + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + (x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) (1 - \csc^{2} (x)) + (x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 4

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\csc (x) (1 - \csc^{2} (x)) + (x + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + (x + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 5.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.1

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$\csc (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 5.3.2

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 2} + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 5.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 5.3.5

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x))$

Étape 5.3.6

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x))$

Étape 5.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1}$

Étape 5.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) \cot^{2} (x)$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x \cot (x) \csc (x) - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc (x) - \csc^{3} (x)$

Étape 5.5

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- x \cot (x) \csc (x) - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc (x) - \csc^{3} (x)$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- x \cot (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x)) - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc (x) - \csc^{3} (x)$

Étape 5.5.2

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- \cot^{2} (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) - \csc^{3} (x)$

Étape 5.5.3

Multipliez par $1$ .

$\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \cdot 1 - \csc^{3} (x)$

Étape 5.5.4

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- \csc^{3} (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Étape 5.5.5

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- \cot^{2} (x))$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Étape 5.5.6

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x)) + \csc (x) \cdot 1$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Étape 5.5.7

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1 - \csc^{2} (x))$

Étape 5.6

Remettez dans l’ordre $1$ et $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x) + 1)$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - (\csc^{2} (x)) + 1)$

Étape 5.8

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

Étape 5.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - (\csc^{2} (x) - 1))$

Étape 5.10

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

Étape 5.11

Soustrayez $\cot^{2} (x)$ de $- \cot^{2} (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - 2 \cot^{2} (x))$

Étape 5.12

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- 2 \cot^{2} (x))$

Étape 5.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \csc (x) x \cot (x) + \csc (x) (- 2 \cot^{2} (x))$

Étape 5.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \csc (x) x \cot (x) - 2 \csc (x) \cot^{2} (x)$

Étape 5.15

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \csc (x) x \cot (x) - 2 \csc (x) \cot^{2} (x)$ .

$- x \csc (x) \cot (x) - 2 \csc (x) \cot^{2} (x)$