Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 x^{5} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2}{x^{3} + 1} d x$

Étape 1

Divisez $3 x^{5} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2$ par $x^{3} + 1$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{5} + 0 + 0 + 3 x^{2}$

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Étape 1.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											-	$2 x^{3}$	+	$0$	+	$0$	-	$2$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{3} + 0 + 0 - 2$

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$2$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$2$
													+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$0$

Étape 1.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 3 x^{2} - 2 + \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 x^{2} d x + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x^{2} d x + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 x + C + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Étape 8

Réécrivez $x^{3}$ comme ${(x^{3})}^{1}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{x^{2}}{{(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Étape 9

Laissez $u_{1} = x^{3}$ . Alors $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{1} = x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 9.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{1}{u_{1} + 1}$ par $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Étape 10.3

Déplacez $3$ à gauche de $u_{1} + 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{3 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Étape 11

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1})$

Étape 12

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 13

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 13.1

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 13.1.1

Différenciez $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Étape 13.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} + 1$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 13.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 13.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 13.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 13.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 14

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 15

Simplifiez

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} + 1$ .

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Étape 16.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| x^{3} + 1 |) + C$