Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{- 1} - 2}{x - \frac{1}{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez l’argument limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{x} - 2}{x - \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x}}{x - \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}}{x - \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1 - 2 x}{x}}{x - \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.2.4

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1 - 2 x}{x}}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.2.5

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1 - 2 x}{x}}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1 - 2 x}{x}}{\frac{x \cdot 2 - 1}{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez l’argument limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{x} \cdot \frac{2}{x \cdot 2 - 1}$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{1 - 2 x}{x}$ par $\frac{2}{x \cdot 2 - 1}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(1 - 2 x) \cdot 2}{x (x \cdot 2 - 1)}$

Étape 1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{x (x \cdot 2 - 1)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1 - 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Étape 2.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Étape 2.1.2.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{1 - 2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$2 \frac{1 - 2 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 \frac{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Étape 2.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot (lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}$

Étape 2.1.3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}$

Étape 2.1.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $\frac{1}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$2 \frac{0}{\frac{1}{2} \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$2 \frac{0}{\frac{1}{2} \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.6.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{0}{\frac{1}{2} \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{0}{\frac{1}{2} \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \frac{0}{\frac{1}{2} \cdot (1 - 1)}$

Étape 2.1.3.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 \frac{0}{\frac{1}{2} \cdot 0}$

Étape 2.1.3.6.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{x (x \cdot 2 - 1)} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Étape 2.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Étape 2.3.5

Soustrayez $2$ de $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [x (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.13

Additionnez $2$ et $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.14

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{2 \cdot x + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{2 x + (2 x - 1) \cdot 1}$

Étape 2.3.16

Multipliez $2 x - 1$ par $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{2 x + 2 x - 1}$

Étape 2.3.17

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{4 x - 1}$

Étape 3

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \cdot - 2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{4 x - 1}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$2 \cdot - 2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 1}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$2 \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 1}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$2 \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Étape 3.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \cdot - 2 \frac{1}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Étape 3.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$2 \cdot - 2 \frac{1}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$2 \cdot - 2 \frac{1}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 \frac{1}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 4 \frac{1}{2 (2) \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 \frac{1}{2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 \frac{1}{2 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 4 \frac{1}{2 - 1}$

Étape 5.2.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- 4 (\frac{1}{1})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 (\frac{1}{1})$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 \cdot 1$

Étape 5.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$