Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{e^{x}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 3.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.2.3

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 3.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} x + e^{x}$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Étape 3.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 3.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 3.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Étape 3.4.3.2.4

Divisez $e^{- x} (- x + 1)$ par $1$ .

$e^{- x} (- x + 1)$

Étape 3.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

Étape 3.4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

Étape 3.4.6

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Étape 3.4.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - x e^{- x} + e^{- x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- x} + e^{- x}$