Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.4.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot 1 = 1$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 4.4.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.1.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1$ plus $- 1$

$\frac{e^{x} x^{2} + (- 1 - 1) (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} x^{2} - 1 (e^{x} x) - 1 (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.1.1.4

Déplacez les parenthèses.

$\frac{e^{x} x^{2} - 1 e^{x} x - 1 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.4.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(e^{x} x^{2} - 1 e^{x} x) - 1 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{e^{x} x (x - 1) - 1 e^{x} (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} x - 1 e^{x})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x - 1 e^{x}$ .

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x) - 1 e^{x})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 1 e^{x}$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{(x - 1) e^{x} (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.3

Associez les exposants.

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Étape 4.4.3.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} (x - 1) e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.3.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x - 1)}^{1 + 1} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{{(x - 1)}^{2} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$