Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{- 1} + 3 x^{- 2}}{x^{- 2} + 4}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{- 1} + 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Étape 3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Étape 7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 4}$

Étape 10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 4}$

Étape 11

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} 4}$

Étape 12

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{0 + 4}$

Étape 12.2

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun à $2 \cdot 0 + 3 \cdot 0$ et $0 + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{0 \cdot 2 + 0 \cdot 3}{0 + 4}$

Étape 12.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $0 \cdot 2$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2) + 0 \cdot 3}{0 + 4}$

Étape 12.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $0 \cdot 3$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2) + 4 (0 \cdot 3)}{0 + 4}$

Étape 12.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (0 \cdot 2) + 4 (0 \cdot 3)$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{0 + 4}$

Étape 12.2.1.5

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 (0) + 4}$

Étape 12.2.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 \cdot 0 + 4 \cdot 1}$

Étape 12.2.1.5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 0 + 4 \cdot 1$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 \cdot (0 + 1)}$

Étape 12.2.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 \cdot (0 + 1)}$

Étape 12.2.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{0 \cdot 2 + 0 \cdot 3}{0 + 1}$

Étape 12.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 3}{0 + 1}$

Étape 12.2.2.2

Multipliez $0$ par $3$ .

$\frac{0 + 0}{0 + 1}$

Étape 12.2.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Étape 12.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$0$