Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{x}{3} + 6 \sqrt{x})}^{3}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 10

Associez $6$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 12

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Réécrivez ${(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ comme $(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})$ .

$3 ((\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.2

Développez $(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (\frac{x}{3} (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.1

Multipliez $\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.1.1

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $\frac{x}{3}$ .

$3 (\frac{x \cdot x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (\frac{x^{1} x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (\frac{x^{1} x^{1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (\frac{x^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 6 \frac{x}{3} x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 3 (2) \frac{x}{3} x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 3 \cdot 2 \frac{x}{3} x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.4

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.4.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.4.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} x + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{1 + \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.10

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.12

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.12.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{\frac{1 + 1}{2}}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{\frac{2}{2}}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.12.5

Divisez $2$ par $2$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{1}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.13

Simplifiez $6 \cdot 6 x^{1}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.1.14

Multipliez $6$ par $6$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 36 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.3.2

Additionnez $2 x^{\frac{3}{2}}$ et $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.4

Appliquez la propriété distributive.

$(3 \frac{x^{2}}{9} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$(3 \frac{x^{2}}{3 (3)} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$(3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 3} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$(\frac{x^{2}}{3} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.5.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$(\frac{x^{2}}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.5.3

Multipliez $36$ par $3$ .

$(\frac{x^{2}}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} + 108 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14.6

Développez $(\frac{x^{2}}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} + 108 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.7.1

Associez.

$\frac{x^{2} \cdot 1}{3 \cdot 3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.4

Associez.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 3}{3 x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.5

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 3 x^{- \frac{1}{2}}}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.6

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.7.6.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + 2} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.6.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.6.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.6.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.7.6.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{\frac{- 1 + 4}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.6.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.7

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.8

Divisez $x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.7.9.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.10

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.7.10.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $12 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (12 x^{\frac{2}{2}}) \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (12 x^{\frac{2}{2}}) \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 12 x^{\frac{2}{2}} \cdot 3 + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.11

Multipliez $3$ par $12$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{\frac{2}{2}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.12

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{1} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.13

Simplifiez

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.14

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.7.14.1

Factorisez $3$ à partir de $108 x$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 3 (36 x) \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 3 (36 x) \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.15

Multipliez $108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.7.15.1

Associez $108$ et $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x \frac{108 \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.15.2

Multipliez $108$ par $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x \frac{324}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.15.3

Associez $x$ et $\frac{324}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + \frac{x \cdot 324}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.16

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x \cdot 324 x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 14.7.17

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.7.17.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot 324$

Étape 14.7.17.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.7.17.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot 324$

Étape 14.7.17.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 324$

Étape 14.7.17.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 324$

Étape 14.7.17.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 324$

Étape 14.7.17.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 324$

Étape 14.7.18

Déplacez $324$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + 324 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 14.8

Additionnez $x^{\frac{3}{2}}$ et $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + 5 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + 324 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 14.9

Additionnez $36 x$ et $36 x$ .

$\frac{x^{2}}{9} + 5 x^{\frac{3}{2}} + 72 x + 324 x^{\frac{1}{2}}$