Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 x + 9}}{4 x}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 x + 9}}{x}$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 9$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 (x) + 9}}{x}$

Étape 1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}{x}$

Étape 1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 (x + 3)}}{x}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Étape 3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 3.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 3.7

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{x + 3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 8

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 9.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.1.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 11

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 12

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 13

Évaluez la limite.

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 \cdot 0}{1}}}{1}$

Étape 13.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.3.1

Divisez $0 + 3 \cdot 0$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)}}{1}$

Étape 13.3.2

Divisez $\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Étape 13.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.3.3.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Étape 13.3.3.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0 + 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Étape 13.3.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Étape 13.3.3.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0^{2}} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Étape 13.3.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Étape 13.3.3.6

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{3 (0 + 0)})$

Étape 13.3.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{3 \cdot 0})$

Étape 13.3.3.8

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{0})$

Étape 13.3.3.9

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{0^{2}})$

Étape 13.3.3.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{4} (0 - 0)$

Étape 13.3.3.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

Étape 13.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 13.3.5

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$0$