Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{1} x^{2} - 2 x + 3 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 d x$

Étape 4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 3 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 x]_{0}^{1}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ et $3 x]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} + 3 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.4

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.5

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 3 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.7.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1 + 9}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.7.2

Additionnez $1$ et $9$ .

$\frac{10}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{10}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.9

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$\frac{10}{3} - (0 + 3 \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.10

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{10}{3} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.11

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{10}{3} - 0 - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{10}{3} + 0 - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.13

Additionnez $\frac{10}{3}$ et $0$ .

$\frac{10}{3} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.15

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 8.2.3.16

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.16.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 8.2.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 8.2.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 8.2.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 8.2.3.16.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Étape 8.2.3.17

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 8.2.3.18

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{10}{3} - 2 (\frac{1}{2})$

Étape 8.2.3.19

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{- 2}{2}$

Étape 8.2.3.20

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.20.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{10}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Étape 8.2.3.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{10}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 8.2.3.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10}{3} + \frac{- 1}{1}$

Étape 8.2.3.20.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{10}{3} - 1$

Étape 8.2.3.21

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 8.2.3.22

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Étape 8.2.3.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{10 - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 8.2.3.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.24.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{10 - 3}{3}$

Étape 8.2.3.24.2

Soustrayez $3$ de $10$ .

$\frac{7}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7}{3}$

Forme décimale :

$2.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{1}{3}$

Étape 10