Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{s - \sqrt{s}}{s^{2}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{s}$ comme $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s - s^{\frac{1}{2}}}{s^{2}}]$

Étape 2

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $s - s^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{1} - s^{\frac{1}{2}}}{s^{2}}]$

Étape 2.2

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $s^{1}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} - s^{\frac{1}{2}}}{s^{2}}]$

Étape 2.3

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{s^{2}}]$

Étape 2.4

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{s^{2}}]$

Étape 3

Placez $s^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{2} s^{- \frac{1}{2}}}]$

Étape 4

Multipliez $s^{2}$ par $s^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{2 - \frac{1}{2}}}]$

Étape 4.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

Étape 4.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{\frac{4 - 1}{2}}}]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ est $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ où $f (s) = s^{\frac{1}{2}} - 1$ et $g (s) = s^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1] - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{{(s^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Multipliez les exposants dans ${(s^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1] - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{s^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1] - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{s^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1] - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $s^{\frac{1}{2}} - 1$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 11.3

Placez $s^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $s$ est $0$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 13

Associez les fractions.

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Étape 13.1

Additionnez $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{s^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 13.2

Associez $s^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{3}{2}}}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 13.3

Placez $s^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{3}{2}} s^{- \frac{1}{2}}}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1

Multipliez $s^{\frac{3}{2}}$ par $s^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{s^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 14.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{s^{\frac{3 - 1}{2}}}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 14.1.3

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{2}{2}}}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 14.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{s^{1}}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 14.2

Simplifiez $s^{1}$ .

$\frac{\frac{s}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 15

Multipliez $\frac{\frac{s}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{s}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}]}{s^{3}}$

Étape 16

Simplifiez les termes.

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Étape 16.1

Associez.

$\frac{2 (\frac{s}{2} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}])}{2 s^{3}}$

Étape 16.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \frac{s}{2} + 2 (- (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}])}{2 s^{3}}$

Étape 16.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{s}{2} + 2 (- (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}])}{2 s^{3}}$

Étape 16.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{s + 2 (- (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}])}{2 s^{3}}$

Étape 16.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{s - 2 ((s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{3}{2}}])}{2 s^{3}}$

Étape 17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{3}{2} s^{\frac{3}{2} - 1})}{2 s^{3}}$

Étape 18

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{3}{2} s^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{2 s^{3}}$

Étape 19

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{3}{2} s^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{2 s^{3}}$

Étape 20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{3}{2} s^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{2 s^{3}}$

Étape 21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 21.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{3}{2} s^{\frac{3 - 2}{2}})}{2 s^{3}}$

Étape 21.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{3}{2} s^{\frac{1}{2}})}{2 s^{3}}$

Étape 22

Associez $\frac{3}{2}$ et $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{s - 2 (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{3 s^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 s^{3}}$

Étape 23

Associez $\frac{3 s^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $- 2$ .

$\frac{s + \frac{3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Étape 24

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{s + \frac{- 6 s^{\frac{1}{2}}}{2} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Étape 25

Factorisez $2$ à partir de $- 6 s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{s + \frac{2 (- 3 s^{\frac{1}{2}})}{2} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Étape 26

Annulez les facteurs communs.

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Étape 26.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{s + \frac{2 (- 3 s^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Étape 26.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{s + \frac{2 (- 3 s^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Étape 26.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{s + \frac{- 3 s^{\frac{1}{2}}}{1} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Étape 26.4

Divisez $- 3 s^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{s - 3 s^{\frac{1}{2}} (s^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 s^{3}}$

Étape 27

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{s - 3 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Étape 27.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 27.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 27.2.1.1

Multipliez $s^{\frac{1}{2}}$ par $s^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 27.2.1.1.1

Déplacez $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{s - 3 (s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}}) - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Étape 27.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{s - 3 s^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Étape 27.2.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{s - 3 s^{\frac{1 + 1}{2}} - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Étape 27.2.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{s - 3 s^{\frac{2}{2}} - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Étape 27.2.1.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{s - 3 s^{1} - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Étape 27.2.1.2

Simplifiez $- 3 s^{1}$ .

$\frac{s - 3 s - 3 s^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 s^{3}}$

Étape 27.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{s - 3 s + 3 s^{\frac{1}{2}}}{2 s^{3}}$

Étape 27.2.2

Soustrayez $3 s$ de $s$ .

$\frac{- 2 s + 3 s^{\frac{1}{2}}}{2 s^{3}}$

Étape 27.3

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 2 s + 3 s^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 27.3.1

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 2 s$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} (- 2 s^{\frac{1}{2}}) + 3 s^{\frac{1}{2}}}{2 s^{3}}$

Étape 27.3.2

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $3 s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} (- 2 s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2 s^{3}}$

Étape 27.3.3

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $s^{\frac{1}{2}} (- 2 s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} (- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3)}{2 s^{3}}$

Étape 27.4

Placez $s^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{3} s^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 27.5

Multipliez $s^{3}$ par $s^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 27.5.1

Déplacez $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 (s^{- \frac{1}{2}} s^{3})}$

Étape 27.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Étape 27.5.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 27.5.4

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Étape 27.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Étape 27.5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 27.5.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Étape 27.5.6.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$\frac{- 2 s^{\frac{1}{2}} + 3}{2 s^{\frac{5}{2}}}$

Étape 27.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (2 s^{\frac{1}{2}}) + 3}{2 s^{\frac{5}{2}}}$

Étape 27.7

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (2 s^{\frac{1}{2}}) - 1 (- 3)}{2 s^{\frac{5}{2}}}$

Étape 27.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 s^{\frac{1}{2}}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (2 s^{\frac{1}{2}} - 3)}{2 s^{\frac{5}{2}}}$

Étape 27.9

Réécrivez $- (2 s^{\frac{1}{2}} - 3)$ comme $- 1 (2 s^{\frac{1}{2}} - 3)$ .

$\frac{- 1 (2 s^{\frac{1}{2}} - 3)}{2 s^{\frac{5}{2}}}$

Étape 27.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 s^{\frac{1}{2}} - 3}{2 s^{\frac{5}{2}}}$