Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{8}}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{8}}}]$ comme $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} \sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}]$ .

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Étape 1.1

Réécrivez ${(8 - x^{3})}^{8}$ comme ${({(8 - x^{3})}^{2})}^{3} {(8 - x^{3})}^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez ${(8 - x^{3})}^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{6} {(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez ${(8 - x^{3})}^{6}$ comme ${({(8 - x^{3})}^{2})}^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{({(8 - x^{3})}^{2})}^{3} {(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} \sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}$ comme ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$

Étape 3

Multipliez ${(8 - x^{3})}^{2}$ par ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2 + \frac{2}{3}}}]$

Étape 3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Étape 3.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}}]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{6 + 2}{3}}}]$

Étape 3.5.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}]$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ comme ${({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}]$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3} \cdot - 1}]$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.2.1

Associez $\frac{8}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{8 \cdot - 1}{3}}]$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{- 8}{3}}]$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{8}{3}}$ et $g (x) = 8 - x^{3}$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3} u^{- \frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x^{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 8 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 9.2

Soustrayez $3$ de $- 8$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 11}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 10

Associez les fractions.

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Étape 10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 10.2

Associez ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ et $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

Déplacez $8$ à gauche de ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ .

$- \frac{8 \cdot {(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 10.3.2

Placez ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Étape 12

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Étape 13

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 15

Multipliez.

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Étape 15.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 15.2

Multipliez $\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ par $1$ .

$\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (3 x^{2})$

Étape 17

Simplifiez les termes.

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Étape 17.1

Associez $3$ et $\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} x^{2}$

Étape 17.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{24}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} x^{2}$

Étape 17.3

Associez $\frac{24}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 17.4

Factorisez $3$ à partir de $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 18

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}})}$

Étape 18.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 18.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 19

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{8 x^{2}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{11}{3}}}$