Calcul infinitésimal Exemples

${(x + 1)}^{x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{x}$ comme $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(x + 1)}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x + 1)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x \ln (x + 1)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x \ln (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x \ln (x + 1)$ .

$e^{x \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{x + 1}$ et $x$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.5.2

Multipliez $\frac{x}{x + 1}$ par $1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1)$

Étape 5.7

Multipliez $\ln (x + 1)$ par $1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1))$

Étape 6

Pour écrire $\ln (x + 1)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1})$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{x \ln (x + 1)} \frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 8

Associez $e^{x \ln (x + 1)}$ et $\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) (x + 1))}{x + 1}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1)}{x + 1}$

Étape 9.1.1.2

Multipliez $\ln (x + 1)$ par $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1))}{x + 1}$

Étape 9.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} (\ln (x + 1) x) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$

Étape 9.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} (\ln (x + 1) x) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)$ .

$\frac{x e^{x \ln (x + 1)} + x e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$

Étape 9.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} x \ln (x + 1) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$