Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.8.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sqrt[3]{1} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1 - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x - 1)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.1.3.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{{(x - 1)}^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.3.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 2 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.10

Associez $- 2$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.11

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.6

Simplifiez

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Étape 1.3.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.6.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.6.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.6.2.2

Additionnez $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.7

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1)]}$

Étape 1.3.8

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1)]}$

Étape 1.3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)]}$

Étape 1.3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Étape 1.3.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.9.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Étape 1.3.9.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Étape 1.3.9.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Étape 1.3.9.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1]}$

Étape 1.3.9.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1]}$

Étape 1.3.9.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Étape 1.3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.12

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.14

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.15

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2 + 0}$

Étape 1.3.16

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

Étape 1.4

Réécrivez $x^{\frac{1}{3}}$ comme $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.1

Pour écrire $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.2

Pour écrire $- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ par $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3.7

Multipliez $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3.8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}})}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1 + 2}{3}}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3.11

Additionnez $1$ et $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.3.12.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.3.12.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 2}$

Étape 1.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 2}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}} \cdot \frac{1}{2 x - 2}$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}$ par $\frac{1}{2 x - 2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

Étape 2.1.3

Réduisez.

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}}) - 2 \sqrt[3]{x}}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

Étape 2.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}}) + 2 (- \sqrt[3]{x})}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{\frac{2}{3}}) + 2 (- \sqrt[3]{x})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x})}{3 x^{1} (2 x - 2)}$

Étape 2.1.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $3 x^{1} (2 x - 2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x})}{2 (3 x^{1} (x - 1))}$

Étape 2.1.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x})}{2 (3 x^{1} (x - 1))}$

Étape 2.1.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 x^{1} (x - 1)}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{x^{1} (x - 1)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.2

Déplacez l’exposant $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \sqrt[3]{1}}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.5.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} (x - 1)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 3.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}$

Étape 3.1.3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x^{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 3.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x^{1}$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1^{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 3.1.3.4.2

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 3.1.3.4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Étape 3.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.5.1

Multipliez $1 - 1 \cdot 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 - 1}$

Étape 3.1.3.5.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.5.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{x^{1} (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 3.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.3.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

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Étape 3.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.4.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.10

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.5

Simplifiez

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Étape 3.3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{1} (x - 1)]}$

Étape 3.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x (x - 1)]}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.12

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x + (x - 1) \cdot 1}$

Étape 3.3.14

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x + x - 1}$

Étape 3.3.15

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Étape 3.4

Réécrivez $x^{\frac{1}{3}}$ comme $\sqrt[3]{x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5

Associez des termes.

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Étape 3.5.1

Pour écrire $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.2

Pour écrire $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.5.3.1

Multipliez $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ par $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{3}{3}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3.7

Multipliez $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3.8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{1 + 2}{3}}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3.11

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.3.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{\frac{3}{3}}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.3.12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{1}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 1}$

Étape 3.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{2 x - 1}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Étape 4.2

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 x^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Étape 4.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Étape 4.6

Déplacez l’exposant $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Étape 4.7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Étape 4.8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 4.9

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 4.10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{lim_{x \to 1} x^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x^{1}$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{1^{1}}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 5.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{1}}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}}{1}}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Divisez $2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{1})}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 \cdot 1 - \sqrt[3]{1})}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 - \sqrt[3]{1})}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 6.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} (2 - 1)}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 6.2.5

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{2 - 1 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{2 - 1}$

Étape 6.3.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{1}$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Étape 6.5

Divisez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.6

Multipliez $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 6.6.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

Étape 6.6.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{9}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{9}$

Forme décimale :

$0.\overline{1}$