Calcul infinitésimal Exemples

${(3 - 2 x^{2})}^{2} \sqrt{2 x^{2} + 1}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x^{2} + 1}$ comme ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(3 - 2 x^{2})}^{2}$ et $g (x) = {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x^{2} + 1$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x^{2} + 1$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 8.3

Placez ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(3 - 2 x^{2})}^{2} (\frac{1}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et ${(3 - 2 x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 12

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 13

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 0) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x) + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 14.2

Associez $4$ et $\frac{{(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 14.3

Associez $\frac{4 {(3 - 2 x^{2})}^{2}}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{4 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 14.4

Factorisez $2$ à partir de $4 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x$ .

$\frac{2 (2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x)}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x)}{2 ({(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x)}{2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(3 - 2 x^{2})}^{2}]$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 - 2 x^{2}$ .

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Étape 16.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 - 2 x^{2}$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}])$

Étape 16.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}])$

Étape 16.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 - 2 x^{2}$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (3 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}])$

Étape 17

Différenciez.

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Étape 17.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - 2 x^{2}]$

Étape 17.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Étape 17.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Étape 17.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 17.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 17.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 17.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) (2 x)$

Étape 17.8

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x$

Étape 18

Pour écrire $- 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x \cdot \frac{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19

Associez $- 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x$ et $\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21

Multipliez ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 21.1

Déplacez ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 ({(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 {(2 x^{2} + 1)}^{1} (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22

Simplifiez $- 8 {(2 x^{2} + 1)}^{1} (3 - 2 x^{2}) x$ .

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x - 8 (2 x^{2} + 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23

Simplifiez

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Étape 23.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(3 - 2 x^{2})}^{2} x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.1.1

Réécrivez ${(3 - 2 x^{2})}^{2}$ comme $(3 - 2 x^{2}) (3 - 2 x^{2})$ .

$\frac{2 ((3 - 2 x^{2}) (3 - 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.2

Développez $(3 - 2 x^{2}) (3 - 2 x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 23.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 (3 - 2 x^{2}) - 2 x^{2} (3 - 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 \cdot 3 + 3 (- 2 x^{2}) - 2 x^{2} (3 - 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 \cdot 3 + 3 (- 2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 3 - 2 x^{2} (- 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 23.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.1.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 (9 + 3 (- 2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 3 - 2 x^{2} (- 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 2 x^{2} \cdot 3 - 2 x^{2} (- 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 2 x^{2} (- 2 x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 2 \cdot - 2 x^{2} x^{2}) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.3.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.2.1.3.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 2 \cdot - 2 (x^{2} x^{2})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 2 \cdot - 2 x^{2 + 2}) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.3.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 2 \cdot - 2 x^{4}) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (9 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 4 x^{4}) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.3.2

Soustrayez $6 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{2 (9 - 12 x^{2} + 4 x^{4}) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 9 + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (4 x^{4})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{(18 + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (4 x^{4})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.5.2

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$\frac{(18 - 24 x^{2} + 2 (4 x^{4})) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.5.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{(18 - 24 x^{2} + 8 x^{4}) x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 x - 24 x^{2} x + 8 x^{4} x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.7

Simplifiez

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Étape 23.2.1.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.2.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{18 x - 24 (x \cdot x^{2}) + 8 x^{4} x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 x - 24 (x^{1} x^{2}) + 8 x^{4} x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{18 x - 24 x^{1 + 2} + 8 x^{4} x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{4} x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.7.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.2.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 (x \cdot x^{4}) + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 23.2.1.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 (x^{1} x^{4}) + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{1 + 4} + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.7.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.1.8.1

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 16 x^{2} - 8 \cdot 1) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.8.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 16 x^{2} - 8) (3 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.9

Développez $(- 16 x^{2} - 8) (3 - 2 x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 23.2.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 16 x^{2} (3 - 2 x^{2}) - 8 (3 - 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 16 x^{2} \cdot 3 - 16 x^{2} (- 2 x^{2}) - 8 (3 - 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 16 x^{2} \cdot 3 - 16 x^{2} (- 2 x^{2}) - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 23.2.1.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.1.10.1.1

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} - 16 x^{2} (- 2 x^{2}) - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.10.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} - 16 \cdot - 2 x^{2} x^{2} - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.10.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.2.1.10.1.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} - 16 \cdot - 2 (x^{2} x^{2}) - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.10.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} - 16 \cdot - 2 x^{2 + 2} - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.10.1.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} - 16 \cdot - 2 x^{4} - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.10.1.4

Multipliez $- 16$ par $- 2$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} + 32 x^{4} - 8 \cdot 3 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.10.1.5

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} + 32 x^{4} - 24 - 8 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.10.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 48 x^{2} + 32 x^{4} - 24 + 16 x^{2}) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.10.2

Additionnez $- 48 x^{2}$ et $16 x^{2}$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} + (- 32 x^{2} + 32 x^{4} - 24) x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{2} x + 32 x^{4} x - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.12.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.12.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 (x \cdot x^{2}) + 32 x^{4} x - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.12.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.1.12.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 (x^{1} x^{2}) + 32 x^{4} x - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.12.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{1 + 2} + 32 x^{4} x - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.12.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{4} x - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.12.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.2.1.12.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 (x \cdot x^{4}) - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.12.2.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 23.2.1.12.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 (x^{1} x^{4}) - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.12.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{1 + 4} - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.1.12.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{18 x - 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{5} - 24 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.2

Soustrayez $24 x$ de $18 x$ .

$\frac{- 24 x^{3} + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{5} - 6 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.3

Soustrayez $32 x^{3}$ de $- 24 x^{3}$ .

$\frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 32 x^{5} - 6 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.2.4

Additionnez $8 x^{5}$ et $32 x^{5}$ .

$\frac{40 x^{5} - 56 x^{3} - 6 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 23.3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $40 x^{5} - 56 x^{3} - 6 x$ .

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Étape 23.3.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $40 x^{5}$ .

$\frac{2 x (20 x^{4}) - 56 x^{3} - 6 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 56 x^{3}$ .

$\frac{2 x (20 x^{4}) + 2 x (- 28 x^{2}) - 6 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{2 x (20 x^{4}) + 2 x (- 28 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (20 x^{4}) + 2 x (- 28 x^{2})$ .

$\frac{2 x (20 x^{4} - 28 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (20 x^{4} - 28 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{2 x (20 x^{4} - 28 x^{2} - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x (20 {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{2 x (20 u^{2} - 28 u - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 23.3.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 20 \cdot - 3 = - 60$ et dont la somme est $b = - 28$ .

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Étape 23.3.4.1.1

Factorisez $- 28$ à partir de $- 28 u$ .

$\frac{2 x (20 u^{2} - 28 (u) - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3.4.1.2

Réécrivez $- 28$ comme $2$ plus $- 30$

$\frac{2 x (20 u^{2} + (2 - 30) u - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (20 u^{2} + 2 u - 30 u - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 23.3.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 x ((20 u^{2} + 2 u) - 30 u - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (2 u (10 u + 1) - 3 (10 u + 1))}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $10 u + 1$ .

$\frac{2 x ((10 u + 1) (2 u - 3))}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{2 x (10 x^{2} + 1) (2 x^{2} - 3)}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$