Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{h}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{h} lim_{x \to 0} 2 {(x + h)}^{3} - 2 x^{3}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} 2 {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Étape 3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{h} (2 lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Étape 4

Déplacez l’exposant $3$ de ${(x + h)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Étape 6

Évaluez la limite de $h$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Étape 7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - 2 lim_{x \to 0} x^{3})$

Étape 8

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{h} (2 {(0 + h)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{h} (2 {(0 + h)}^{3} - 2 \cdot 0^{3})$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Additionnez $0$ et $h$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3} - 2 \cdot 0^{3})$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3} - 2 \cdot 0)$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3} + 0)$

Étape 10.3

Additionnez $2 h^{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3})$

Étape 10.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1}{h} h^{3}$

Étape 10.5

Associez $2$ et $\frac{1}{h}$ .

$\frac{2}{h} h^{3}$

Étape 10.6

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 10.6.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{3}$ .

$\frac{2}{h} (h \cdot h^{2})$

Étape 10.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{h} (h \cdot h^{2})$

Étape 10.6.3

Réécrivez l’expression.

$2 h^{2}$