Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (2 - \csc^{2} (x)) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 - \csc^{2} (x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x$

Étape 5

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Évaluez $2 x$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$(2 \frac{π}{2}) - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Étape 6.1.2

Évaluez $- \cot (x)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$2 \frac{π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Associez $2$ et $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3.2.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3.3

Associez $- 2$ et $\frac{π}{4}$ .

$π + \frac{- 2 π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 6.1.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 π$ .

$π + \frac{2 (- π)}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$π + \frac{2 (- π)}{2 (2)} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$π + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$π + \frac{- π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$π - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3.6

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3.7

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 2 - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3.9

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.1.3.10

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$\frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{π}{2} - (- 0 + \cot (\frac{π}{4}))$

Étape 6.2.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{π}{2} - (- 0 + 1)$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π}{2} - (0 + 1)$

Étape 6.2.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Étape 6.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{2} - 1$

Forme décimale :

$0.57079632 \dots$