Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} (3 x^{3} - x^{2} + x - 1) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{3} - x^{2} + x - 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + - x]_{- 1}^{1}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}$ et $- x]_{- 1}^{1}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

Étape 11.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$3 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

Étape 11.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$3 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

Étape 11.2.3

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} - x$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$3 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4

Simplifiez

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Étape 11.2.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$3 (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{1 - 1}{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$3 (\frac{0}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.5

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 11.2.4.5.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$3 \frac{4 (0)}{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$3 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{0}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.5.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$3 \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.6

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$0 - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.11

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - \frac{1 + 1}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$0 - \frac{2}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.14

Soustrayez $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$- \frac{2}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.15

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.16

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.17

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.18

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.19

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2}{3} + \frac{1 - 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.21.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1 - 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.21.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.23

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - - 1)$

Étape 11.2.4.24

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} - - 1)$

Étape 11.2.4.25

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + 1)$

Étape 11.2.4.26

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 11.2.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1 + 2}{2}$

Étape 11.2.4.28

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 11.2.4.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 - 3}{2}$

Étape 11.2.4.30

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 4}{2}$

Étape 11.2.4.31

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 11.2.4.31.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Étape 11.2.4.31.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.31.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 11.2.4.31.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.4.31.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{3} + \frac{- 2}{1}$

Étape 11.2.4.31.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{2}{3} - 2$

Étape 11.2.4.32

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.2.4.33

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.34

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.35

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.35.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 2 - 6}{3}$

Étape 11.2.4.35.2

Soustrayez $6$ de $- 2$ .

$\frac{- 8}{3}$

Étape 11.2.4.36

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{3}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{8}{3}$

Forme décimale :

$- 2.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$- 2 \frac{2}{3}$

Étape 13