Calcul infinitésimal Exemples

$y = 6 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$24 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.4.2

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x + 0$

Étape 1.4.3

Additionnez $24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{3}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$72 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$72 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$72 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 18 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$72 x^{2} - 18 x + 2 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 18 x + 2$