Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ par $y^{2} + x y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ par $y^{2} + x y^{2}$ .

$\frac{(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x y^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2} + x y^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x y^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + x y^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} + x y^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + x y^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x}$

Étape 1.1.3.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $\frac{1}{1 + x}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = \frac{1}{1 + x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \ln (| 1 + x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\ln (| 1 + x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| 1 + x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| 1 + x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (\ln (| 1 + x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 \ln (| 1 + x |) + 3 C$

Étape 3.3

Simplifiez $3 \ln (| 1 + x |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$y^{3} = \ln ({| 1 + x |}^{3}) + 3 C$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| 1 + x |}^{3}) + 3 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| 1 + x |}^{3}) + C}$