Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 3 x + 12}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

Étape 1.3

Comme la fonction $\ln (x^{3})$ approche de $\infty$ , la constante négative $- 6$ fois la fraction approche de $- \infty$ .

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Étape 1.3.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $- 6$ retiré.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{3})}$

Étape 1.3.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.3.3

Comme la fonction $\ln (x^{3})$ approche de $\infty$ , la constante négative $- 6$ fois la fraction approche de $- \infty$ .

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.3.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Étape 3.5

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Étape 3.6

Additionnez $2 x + 3$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Étape 3.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \ln (x^{3})$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Étape 3.8.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Étape 3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{x^{3}}$ et $- 6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} (3 x^{2})}$

Étape 3.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 3 \frac{6}{x^{3}} x^{2}}$

Étape 3.13

Associez $- 3$ et $\frac{6}{x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 3 \cdot 6}{x^{3}} x^{2}}$

Étape 3.14

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x^{3}} x^{2}}$

Étape 3.15

Associez $\frac{- 18}{x^{3}}$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 3.16

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 3.16.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 18 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{3}}}$

Étape 3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.16.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

Étape 3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

Étape 3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x}}$

Étape 3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{18}{x}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} (2 x + 3) (- \frac{x}{18})$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} 2 x (- \frac{x}{18}) + 3 (- \frac{x}{18})$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Déplacez $x$ .

$lim_{x \to \infty} 2 \cdot - 1 x \frac{x}{18} + 3 (- \frac{x}{18})$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} - 2 x \frac{x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Étape 7

Associez $- 2 x$ et $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x \cdot x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Étape 8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x)}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Étape 9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Étape 10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{1 + 1}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Étape 11.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} - 3 \frac{x}{18}$

Étape 11.3

Associez $- 3$ et $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + \frac{- 3 x}{18}$

Étape 12

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\infty$