Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^{2}} d x$

Étape 1

Complétez le carré.

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Étape 1.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

Étape 1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Étape 1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Étape 1.5.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Étape 1.5.2.1.4

Multipliez $- - \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.5.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Étape 1.5.2.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Étape 1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{1}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Étape 2.1.4

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 0 - \frac{1}{2}$

Étape 2.3

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{upper} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{upper} = \frac{2 - 1}{2}$

Étape 2.5.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4}} d u_{1}$

Étape 3

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{4}} d u_{1}$

Étape 3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} d u_{1}$

Étape 4

Réécrivez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} d u_{1}$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $- {u_{1}}^{2}$ et ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{1}{2}$ et $b = u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Étape 7

Pour écrire $u_{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1} \cdot \frac{2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Associez $u_{1}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{u_{1} \cdot 2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Étape 8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + u_{1} \cdot 2}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Étape 9

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Étape 10

Pour écrire $- u_{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1} \cdot \frac{2}{2})} d u_{1}$

Étape 11

Associez $- u_{1}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} + \frac{- u_{1} \cdot 2}{2})} d u_{1}$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - u_{1} \cdot 2}{2}} d u_{1}$

Étape 13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - 2 u_{1}}{2}} d u_{1}$

Étape 14

Multipliez $\frac{1 + 2 u_{1}}{2}$ par $\frac{1 - 2 u_{1}}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{2 \cdot 2}} d u_{1}$

Étape 15

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}} d u_{1}$

Étape 16

Réécrivez $\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))$ .

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Étape 16.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{4}} d u_{1}$

Étape 16.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}} d u_{1}$

Étape 16.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))} d u_{1}$

Étape 17

Simplifiez les termes.

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Étape 17.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})} d u_{1}$

Étape 17.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Étape 18

Développez $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 (1 - 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Étape 18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Étape 18.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Étape 19

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Étape 19.1.2

Multipliez $- 2 u_{1}$ par $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Étape 19.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Étape 19.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 u_{1} \cdot u_{1}}}{2} d u_{1}$

Étape 19.1.5

Multipliez $u_{1}$ par $u_{1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.1.5.1

Déplacez $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 (u_{1} \cdot u_{1})}}{2} d u_{1}$

Étape 19.1.5.2

Multipliez $u_{1}$ par $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Étape 19.1.6

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Étape 19.2

Additionnez $- 2 u_{1}$ et $2 u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 0 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Étape 19.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Étape 20

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 21

Laissez $u_{1} = \frac{1}{2} \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u_{1} = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\cos (t)}{2}$ est positif.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 22

Simplifiez les termes.

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Étape 22.1

Simplifiez $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 22.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 22.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (t)$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 22.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 22.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 22.1.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 22.1.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 22.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 22.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 22.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 22.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 22.2

Simplifiez

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Étape 22.2.1

Associez $\cos (t)$ et $\frac{\cos (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Étape 22.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Étape 22.2.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Étape 22.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Étape 22.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Étape 23

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

Étape 24

Simplifiez

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Étape 24.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Étape 24.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Étape 25

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 26

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Étape 27

Simplifiez

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Étape 27.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 27.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{8} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 28

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{8} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 29

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 30

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Alors $d u_{2} = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 30.1

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 30.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 30.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 30.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 30.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 30.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Étape 30.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 30.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 30.3.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 30.3.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = - π$

Étape 30.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 30.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 30.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 30.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 30.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Étape 30.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 31

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 32

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 33

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Étape 34

Remplacez et simplifiez.

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Étape 34.1

Évaluez $t$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Étape 34.2

Évaluez $\sin (u_{2})$ sur $π$ et sur $- π$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 34.3

Simplifiez

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Étape 34.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{8} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 34.3.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 34.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 34.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 34.3.3.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Étape 35

Simplifiez

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Étape 35.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 35.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 35.1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Étape 35.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Étape 35.1.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Étape 35.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Étape 35.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Étape 35.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 35.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{1}{8} (π + 0)$

Étape 35.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{1}{8} π$

Étape 35.3

Associez $\frac{1}{8}$ et $π$ .

$\frac{π}{8}$

Étape 36

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{8}$

Forme décimale :

$0.39269908 \dots$

Étape 37