Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = 1$ et $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 4.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Étape 4.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Étape 4.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Étape 4.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Étape 4.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Étape 4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Étape 4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Étape 4.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Étape 4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Étape 4.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Étape 4.12

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Étape 4.13

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$- \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x'}{x}$

Étape 4.14

Associez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $x'$ .

$- \frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.15

Réécrivez $\frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ comme un produit.

$- (\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 4.16

Multipliez $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 4.17

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x'}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x'}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.19

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 4.21

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Résolvez $x'$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 6.2.2.2

Divisez $\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = - 1$

Étape 6.3

Multipliez les deux côtés par $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} (2 x^{\frac{3}{2}}) = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.1.1

Simplifiez $\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} (2 x^{\frac{3}{2}})$ .

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Étape 6.4.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x'}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.4.1.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 6.4.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x'}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.4.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x' = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x' = - 2 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 7

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 2 x^{\frac{3}{2}}$