Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{6}} - 3 \cos (- x) - 4 \tan (- x)$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{6}$ .

$- lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 \cos (- x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x)$

Étape 2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 3 lim_{x \to \frac{π}{6}} \cos (- x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x)$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{6}} - x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x)$

Étape 4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 3 \cos (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x)$

Étape 5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 3 \cos (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- x)$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$- 3 \cos (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 4 \tan (lim_{x \to \frac{π}{6}} - x)$

Étape 7

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 3 \cos (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{6}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{6}$ pour $x$ .

$- 3 \cos (- \frac{π}{6}) - 4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{6}$ pour $x$ .

$- 3 \cos (- \frac{π}{6}) - 4 \tan (- \frac{π}{6})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 3 \cos (\frac{11 π}{6}) - 4 \tan (- \frac{π}{6})$

Étape 9.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 3 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \tan (- \frac{π}{6})$

Étape 9.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 3 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \tan (- \frac{π}{6})$

Étape 9.1.4

Associez $- 3$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{2} - 4 \tan (- \frac{π}{6})$

Étape 9.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 4 \tan (- \frac{π}{6})$

Étape 9.1.6

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 4 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 9.1.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le quatrième quadrant.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 4 (- \tan (\frac{π}{6}))$

Étape 9.1.8

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 9.1.9

Multipliez $- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Étape 9.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 9.1.9.2

Associez $4$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.2

Pour écrire $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.3

Pour écrire $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.4.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{3 \sqrt{3} \cdot 3}{6} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.4.3

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3} \cdot 3}{6} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 9.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{3} \cdot 3}{6} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 2}{6}$

Étape 9.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 \sqrt{3} \cdot 3 + 4 \sqrt{3} \cdot 2}{6}$

Étape 9.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.6.1

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \cdot 2}{6}$

Étape 9.6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}}{6}$

Étape 9.6.3

Additionnez $- 9 \sqrt{3}$ et $8 \sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{6}$

Étape 9.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{3}}{6}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{3}}{6}$

Forme décimale :

$- 0.28867513 \dots$