Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arcsin (\frac{1}{9 x + 6})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{1}{9 x + 6}))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = \frac{1}{9 x + 6}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{1}{9 x + 6}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x + 6}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\arcsin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x + 6}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{1}{9 x + 6}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x + 6}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{9 x + 6}$ comme ${(9 x + 6)}^{- 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(9 x + 6)}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 9 x + 6$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $9 x + 6$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $9 x + 6$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} (- {(9 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Associez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}}$ et ${(9 x + 6)}^{- 2}$ .

$- \frac{{(9 x + 6)}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

Étape 3.4.2

Placez ${(9 x + 6)}^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

Étape 3.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.4.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.4.6

Multipliez $9$ par $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.4.7

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 + 0)$

Étape 3.4.8

Associez les fractions.

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Étape 3.4.8.1

Additionnez $9$ et $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} \cdot 9$

Étape 3.4.8.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$- 9 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Étape 3.4.8.3

Associez $- 9$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Étape 3.4.8.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{9 x + 6}$ .

$- \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$