Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {\begin{cases} c x^{2} + 4 x & x < 5 \\ x^{3} - c x & x \geq 5 \end{cases}$

Étape 1

Déterminez la limite de $c x^{2} + 4 x$ lorsque $x$ approche de $5$ depuis le côté gauche.

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Étape 1.1

Transformez la limite de deux côtés en une limite côté gauche.

$lim_{x \to 5^{-}} c x^{2} + 4 x$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$lim_{x \to 5^{-}} c x^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

Étape 1.3

Placez le terme $c$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$c lim_{x \to 5^{-}} x^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

Étape 1.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$c {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

Étape 1.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$c {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 5^{-}} x$

Étape 1.6

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$c \cdot 5^{2} + 4 lim_{x \to 5^{-}} x$

Étape 1.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$c \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$c \cdot 25 + 4 \cdot 5$

Étape 1.7.2

Déplacez $25$ à gauche de $c$ .

$25 \cdot c + 4 \cdot 5$

Étape 1.7.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$25 c + 20$

Étape 2

Évaluez $x^{3} - c x$ sur $5$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

${(5)}^{3} - c \cdot 5$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$125 - c \cdot 5$

Étape 2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$125 - 5 c$

Étape 3

Comme la limite de $c x^{2} + 4 x$ lorsque $x$ approche de $5$ depuis le côté gauche n’est pas égale à la valeur de la fonction sur $x = 5$ , la fonction n’est pas continue sur $x = 5$ .

Pas continu

Étape 4