Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5 - v^{2}}{5 + v^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y'} y = \frac{d}{d y'} \cdot \frac{5 - {y'}^{2}}{5 + {y'}^{2}}$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $y'$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d v} [\frac{f (y')}{g (y')}]$ est $\frac{g (y') \frac{d}{d v} [f (y')] - f (y') \frac{d}{d v} [g (y')]}{{g (y')}^{2}}$ où $f (y') = 5 - {y'}^{2}$ et $g (y') = 5 + {y'}^{2}$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 - {y'}^{2}] - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - {y'}^{2}$ par rapport à $y'$ est $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $y'$ , la dérivée de $5$ par rapport à $y'$ est $0$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}] - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y'$ , la dérivée de $- {y'}^{2}$ par rapport à $y'$ est $- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [{y'}^{n}]$ est $n {y'}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- (2 y')) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + {y'}^{2}$ par rapport à $y'$ est $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.8

Comme $5$ est constant par rapport à $y'$ , la dérivée de $5$ par rapport à $y'$ est $0$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [{y'}^{n}]$ est $n {y'}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (2 y')}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - 2 (5 - {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 (5 - {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') + (- 2 \cdot 5 - 2 (- {y'}^{2})) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.1.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 10 y' + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{2} y' - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3

Multipliez ${y'}^{2}$ par $y'$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.4.1.3.1

Déplacez $y'$ .

$\frac{- 10 y' - 2 (y' {y'}^{2}) - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3.2

Multipliez $y'$ par ${y'}^{2}$ .

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Étape 3.3.4.1.3.2.1

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 10 y' - 2 ({y'}^{1} {y'}^{2}) - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{1 + 2} - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.5

Multipliez ${y'}^{2}$ par $y'$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.4.1.5.1

Déplacez $y'$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- (y' {y'}^{2}))}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.5.2

Multipliez $y'$ par ${y'}^{2}$ .

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Étape 3.3.4.1.5.2.1

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- ({y'}^{1} {y'}^{2}))}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{1 + 2})}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{3})}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' + 2 {y'}^{3}}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Associez les termes opposés dans $- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' + 2 {y'}^{3}$ .

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Étape 3.3.4.2.1

Additionnez $- 2 {y'}^{3}$ et $2 {y'}^{3}$ .

$\frac{- 10 y' - 10 y' + 0}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.2.2

Additionnez $- 10 y' - 10 y'$ et $0$ .

$\frac{- 10 y' - 10 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.3

Soustrayez $10 y'$ de $- 10 y'$ .

$\frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Étape 5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

${(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ par ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ par ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ .

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ dans le numérateur.

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

Étape 5.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = - 20 y'$

Étape 5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.3.1

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1.1

Ajoutez $20 y'$ aux deux côtés de l’équation.

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.1

Réécrivez ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ comme $(5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})$ .

$y' ((5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.2

Développez $(5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' (5 (5 + {y'}^{2}) + {y'}^{2} (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' (5 \cdot 5 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' (5 \cdot 5 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 5 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.3.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 5 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.3.1.2

Déplacez $5$ à gauche de ${y'}^{2}$ .

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 \cdot {y'}^{2} + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.3.1.3

Multipliez ${y'}^{2}$ par ${y'}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.3.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2 + 2}) + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.3.1.3.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.3.2

Additionnez $5 {y'}^{2}$ et $5 {y'}^{2}$ .

$y' (25 + 10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$y' \cdot 25 + y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.5

Simplifiez

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Étape 5.3.1.2.5.1

Déplacez $25$ à gauche de $y'$ .

$25 \cdot y' + y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + y' {y'}^{4} + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.5.3

Multipliez $y'$ par ${y'}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.5.3.1

Multipliez $y'$ par ${y'}^{4}$ .

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Étape 5.3.1.2.5.3.1.1

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{1} {y'}^{4} + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.5.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{1 + 4} + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.5.3.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.6

Multipliez $y'$ par ${y'}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.6.1

Déplacez ${y'}^{2}$ .

$25 y' + 10 ({y'}^{2} y') + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.6.2

Multipliez ${y'}^{2}$ par $y'$ .

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Étape 5.3.1.2.6.2.1

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$25 y' + 10 ({y'}^{2} {y'}^{1}) + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 y' + 10 {y'}^{2 + 1} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$25 y' + 10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

Étape 5.3.1.3

Additionnez $25 y'$ et $20 y'$ .

$10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 45 y' = 0$

Étape 5.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 45 y'$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $y'$ à partir de $10 {y'}^{3}$ .

$y' (10 {y'}^{2}) + {y'}^{5} + 45 y' = 0$

Étape 5.3.2.1.2

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{5}$ .

$y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 45 y' = 0$

Étape 5.3.2.1.3

Factorisez $y'$ à partir de $45 y'$ .

$y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + y' \cdot 45 = 0$

Étape 5.3.2.1.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4})$ .

$y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 45 = 0$

Étape 5.3.2.1.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 45$ .

$y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4} + 45) = 0$

Étape 5.3.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' ({y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45) = 0$

Étape 5.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y' = 0$

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$

Étape 5.3.4

Définissez $y'$ égal à $0$ .

$y' = 0$

Étape 5.3.5

Définissez ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45$ égal à $0$ et résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.5.1

Définissez ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45$ égal à $0$ .

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$

Étape 5.3.5.2

Résolvez ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$ pour $y'$ .

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Étape 5.3.5.2.1

Remplacez $u = {y'}^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 10 u + 45 = 0$

$u = {y'}^{2}$

Étape 5.3.5.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3.5.2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 10$ et $c = 45$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 45)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4

Simplifiez

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Étape 5.3.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.2.4.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 45$ .

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Étape 5.3.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $45$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.3

Soustrayez $180$ de $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 80$ comme $- 1 (80)$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (80)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.7

Réécrivez $80$ comme $4^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.3.5.2.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $80$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

Étape 5.3.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

Étape 5.3.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.2.5.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 45$ .

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Étape 5.3.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $45$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.3

Soustrayez $180$ de $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 80$ comme $- 1 (80)$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (80)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.7

Réécrivez $80$ comme $4^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.3.5.2.5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $80$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

Étape 5.3.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

Étape 5.3.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

Étape 5.3.5.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.3.5.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.2.6.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 45$ .

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Étape 5.3.5.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $45$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.3

Soustrayez $180$ de $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.4

Réécrivez $- 80$ comme $- 1 (80)$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (80)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.7

Réécrivez $80$ comme $4^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.3.5.2.6.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $80$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

Étape 5.3.5.2.6.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

Étape 5.3.5.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Étape 5.3.5.2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - 5 + 2 i \sqrt{5}, - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Étape 5.3.5.2.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = {y'}^{2}$ dans l’équation résolue.

${y'}^{2} = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

${({y'}^{2})}^{1} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Étape 5.3.5.2.9

Résolvez la première équation pour $y'$ .

${y'}^{2} = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

Étape 5.3.5.2.10

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.3.5.2.10.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y' = \pm \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

Étape 5.3.5.2.10.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.3.5.2.10.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

Étape 5.3.5.2.10.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y' = - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

Étape 5.3.5.2.10.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

Étape 5.3.5.2.11

Résolvez la deuxième équation pour $y'$ .

${({y'}^{2})}^{1} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Étape 5.3.5.2.12

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.3.5.2.12.1

Supprimez les parenthèses.

${y'}^{2} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

Étape 5.3.5.2.12.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y' = \pm \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Étape 5.3.5.2.12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.12.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y' = \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Étape 5.3.5.2.12.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y' = - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Étape 5.3.5.2.12.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y' = \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Étape 5.3.5.2.13

La solution à ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$ est $y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$ .

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Étape 5.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $y' ({y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45) = 0$ vraie.

$y' = 0, \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d v}$ .

$\frac{d y}{d v} = 0, \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$