Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} (3 - 2 x + x^{2}) d x = 9$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{3} 3 - 2 x + x^{2} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} 3 d x + \int_{0}^{3} - 2 x d x + \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$3 x]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 2 x d x + \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Étape 4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$3 x]_{0}^{3} - 2 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 x]_{0}^{3} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x]_{0}^{3} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 x]_{0}^{3} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $3 x]_{0}^{3}$ et $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}$ .

$3 x + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $3 x + \frac{1}{3} x^{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$(3 \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $0$ .

$(3 \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 + \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$9 + \frac{1}{3} \cdot 27 - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $27$ .

$9 + \frac{27}{3} - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.4

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 8.2.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$9 + \frac{3 \cdot 9}{3} - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$9 + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 + \frac{9}{1} - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.4.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$9 + 9 - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.5

Additionnez $9$ et $9$ .

$18 - (3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.6

Multipliez $3$ par $0$ .

$18 - (0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$18 - (0 + \frac{1}{3} \cdot 0) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.8

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$18 - (0 + 0) - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$18 - 0 - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$18 + 0 - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.11

Additionnez $18$ et $0$ .

$18 - 2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.3.13

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 8.2.3.14

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.14.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 8.2.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 8.2.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$18 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 8.2.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$18 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 8.2.3.14.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2} - 0)$

Étape 8.2.3.15

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2} + 0)$

Étape 8.2.3.16

Additionnez $\frac{9}{2}$ et $0$ .

$18 - 2 (\frac{9}{2})$

Étape 8.2.3.17

Associez $- 2$ et $\frac{9}{2}$ .

$18 + \frac{- 2 \cdot 9}{2}$

Étape 8.2.3.18

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$18 + \frac{- 18}{2}$

Étape 8.2.3.19

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.19.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$18 + \frac{2 \cdot - 9}{2}$

Étape 8.2.3.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.19.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$18 + \frac{2 \cdot - 9}{2 (1)}$

Étape 8.2.3.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$18 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$18 + \frac{- 9}{1}$

Étape 8.2.3.19.2.4

Divisez $- 9$ par $1$ .

$18 - 9$

Étape 8.2.3.20

Soustrayez $9$ de $18$ .

$9$

Étape 9