Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.3

Placez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.12

Associez les fractions.

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Étape 1.12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.12.2

Associez $2$ et $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.12.3

Associez $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.16

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.16.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.16.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.16.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.18

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.19

Pour écrire ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.21.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22

Simplifiez ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.23

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x^{2} + 1$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 2.4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 2.4.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 2.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.6.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 2.4.6.2

Déplacez $4$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 2.10

Associez les fractions.

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Étape 2.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 2.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 2.10.3

Placez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Étape 2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.13

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.14

Simplifiez les termes.

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Étape 2.14.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.14.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x)}{x^{2} + 1}$

Étape 2.14.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.14.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.14.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.2

Multipliez $- 2 x^{2} - 1$ par $\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.3

Pour écrire $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.5

Réécrivez $\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

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Étape 2.15.2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 1) x$ .

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Étape 2.15.2.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $(- 2 x^{2} - 1) x$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 1)$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.5.2

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.2.5.2.1

Déplacez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x (4 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.5.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{1} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.5.3

Simplifiez $4 {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{x (4 (x^{2} + 1) - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.5.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.5.6

Soustrayez $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 4 - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.2.5.7

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.3

Associez des termes.

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Étape 2.15.3.1

Réécrivez $\frac{\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ comme un produit.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 2.15.3.2

Multipliez $\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Étape 2.15.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.3.3.1

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 1$ .

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Étape 2.15.3.3.1.1

Élevez $x^{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 2.15.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 2.15.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 2.15.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 2.15.3.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x (2 x^{2} + 3)$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 2 x^{2} + 3$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.4.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x + 0) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.4.6

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 (x^{1} x) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 (x^{1} x^{1}) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{1 + 1} + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} + 3) \cdot 1) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.8.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.8.3.1

Multipliez $2 x^{2} + 3$ par $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + 2 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.8.3.2

Additionnez $4 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 3.9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.14

Associez les fractions.

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Étape 3.14.1

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.14.2

Associez $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.17

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.18

Associez les fractions.

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Étape 3.18.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.18.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - 2 \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.18.3

Associez $- 2$ et $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{- 2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} (2 x^{2} + 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.18.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} (2 x^{2} + 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.18.5

Associez $x$ et $\frac{- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{1} x (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.20

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{1} x^{1} (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{1 + 1} (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.22

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{2} (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.23

Factorisez $2$ à partir de $x^{2} (- 6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.24

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.24.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.24.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.24.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{1} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.24.4

Divisez $x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ par $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.25

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x^{2} + 3)$ .

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Étape 3.25.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $- 3$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.25.2

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3)$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3)) - 3 \cdot x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.25.3

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 3 \cdot x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} + 3)$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3)) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.25.4

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3)) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.26

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.26.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.26.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{1} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.27

Simplifiez

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.28

Placez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 3.29

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{3}$ par ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.29.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3 - \frac{1}{2}}}$

Étape 3.29.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Étape 3.29.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Étape 3.29.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Étape 3.29.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.29.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{6 - 1}{2}}}$

Étape 3.29.5.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30

Simplifiez

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Étape 3.30.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.30.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.30.2.1.1

Développez $(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.30.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (6 x^{2} + 3) + 1 (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.30.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.30.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.30.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{6 x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.2.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.2.1.4

Multipliez $6 x^{2}$ par $1$ .

$\frac{6 x^{4} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.2.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{6 x^{4} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.2.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.30.2.1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 x^{2 + 2} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.1.6

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} - 9 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.2

Associez les termes opposés dans $6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} - 9 x^{2}$ .

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Étape 3.30.2.2.1

Soustrayez $6 x^{4}$ de $6 x^{4}$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 + 0 - 9 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.2.2

Additionnez $9 x^{2} + 3$ et $0$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 - 9 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.2.3

Soustrayez $9 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{0 + 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.30.2.2.4

Additionnez $0$ et $3$ .

$f''' (x) = \frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$

Étape 4.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ comme ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Étape 4.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.2.2.2.1

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Étape 4.1.2.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}}]$

Étape 4.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{5}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $- 5$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.7.2

Associez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ et $\frac{5}{2}$ .

$3 (- \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.3.1

Déplacez $5$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$3 (- \frac{5 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.7.3.2

Placez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{5}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.7.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 (\frac{5}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.7.4

Associez $\frac{5}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ et $- 3$ .

$\frac{5 \cdot - 3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 4.7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.5.1

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{- 15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 4.7.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (2 x + 0)$

Étape 4.11

Simplifiez les termes.

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Étape 4.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (2 x)$

Étape 4.11.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} x$

Étape 4.11.3

Associez $- 2$ et $\frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} x$

Étape 4.11.4

Multipliez $- 2$ par $15$ .

$\frac{- 30}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} x$

Étape 4.11.5

Associez $\frac{- 30}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 30 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.11.6

Factorisez $2$ à partir de $- 30 x$ .

$\frac{2 (- 15 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.12

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 (- 15 x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}})}$

Étape 4.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 15 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$