Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} 5 \sin^{2} (t) \cos^{4} (t) d t$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{0}^{π} \sin^{2} (t) \cos^{4} (t) d t$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$5 \int_{0}^{π} \sin^{2} (t) {\cos (t)}^{2 (2)} d t$

Étape 2.2

Réécrivez ${\cos (t)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$5 \int_{0}^{π} \sin^{2} (t) {(\cos^{2} (t))}^{2} d t$

Étape 3

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$5 \int_{0}^{π} \sin^{2} (t) {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (t)$ en $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$5 \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

Étape 5

Laissez $u_{1} = 2 t$ . Alors $d u_{1} = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u_{1} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u_{1} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 π$

Étape 5.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Étape 5.6

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (u_{1})}{2} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6

Simplifiez en multipliant.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (u_{1})}{4} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Étape 6.2

Simplifiez en utilisant la commutativité.

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Étape 6.2.1

Réécrivez $\frac{1 - \cos (u_{1})}{4}$ comme un produit.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot (1 - \cos (u_{1})) {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Étape 6.2.2

Réécrivez $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ comme un produit.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot (1 - \cos (u_{1})) {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Étape 6.3

Développez $\frac{1}{4} \cdot (1 - \cos (u_{1})) {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ .

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Étape 6.3.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))) d u_{1}$

Étape 6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int_{0}^{2 π} (\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))) d u_{1}$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int_{0}^{2 π} (\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1}))) ((\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))) d u_{1}$

Étape 6.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int_{0}^{2 π} (\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1}))) ((\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int_{0}^{2 π} (\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int_{0}^{2 π} (\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.7

Appliquez la propriété distributive.

Étape 6.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.10

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.11

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.12

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.13

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.14

Appliquez la propriété distributive.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.15

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.16

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{4} (1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.17

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{4} (1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2})) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.18

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{4} (1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.19

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{4} (1 \cdot 1 \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.20

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{4} (1 \cdot 1) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.21

Déplacez $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.22

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.23

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} (1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.24

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} (1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2}) \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.25

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} (1 \cdot \frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.26

Déplacez $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.27

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.28

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2})) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.29

Déplacez $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.30

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{4} (1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.31

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{4} (1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.32

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{4} (1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.33

Déplacez $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.34

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.35

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2}) \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.36

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.37

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.38

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.39

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2})) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.40

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.41

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (1 \cdot 1 \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.42

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (1 \cdot 1) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.43

Déplacez $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.44

Déplacez $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.45

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.46

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.47

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2}) \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.48

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.49

Déplacez $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.50

Déplacez $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.51

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.52

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2})) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.53

Déplacez $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.54

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.55

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.56

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.57

Déplacez $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.58

Déplacez $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.59

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 6.3.60

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2}) \cdot \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.61

Déplacez les parenthèses.

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{4} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.62

Multipliez $1$ par $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.63

Multipliez $1$ par $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.64

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.65

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.66

Multipliez $4$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.67

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{8 \cdot 2} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.68

Multipliez $8$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.69

Multipliez $1$ par $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.70

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.71

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.72

Multipliez $4$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.73

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{1}{8 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.74

Multipliez $8$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{1}{16} \cos (u_{1}) + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.75

Associez $\frac{1}{16}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.76

Multipliez $1$ par $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.77

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.78

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.79

Multipliez $4$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{1}{8} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.80

Associez $\frac{1}{8}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{8} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.81

Multipliez $\frac{\cos (u_{1})}{8}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{8 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.82

Multipliez $8$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.83

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.84

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.85

Multipliez $4$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{1}{8} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.86

Associez $\frac{1}{8}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{8} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.87

Multipliez $\frac{\cos (u_{1})}{8}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{8 \cdot 2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.88

Multipliez $8$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.89

Associez $\frac{\cos (u_{1})}{16}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{16} - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.90

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{16} - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.91

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{16} - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.92

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{16} - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.93

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.94

Additionnez $\frac{\cos (u_{1})}{16}$ et $\frac{\cos (u_{1})}{16}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.95

Associez $2$ et $\frac{\cos (u_{1})}{16}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - 1 \cdot 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.96

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.97

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.98

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.99

Associez $- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{4 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.100

Multipliez $4$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{8} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.101

Associez $- \frac{\cos (u_{1})}{8}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{8 \cdot 2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.102

Multipliez $8$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.103

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.104

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.105

Associez $- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{4 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.106

Multipliez $4$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{8} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.107

Associez $- \frac{\cos (u_{1})}{8}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{8 \cdot 2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.108

Multipliez $8$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.109

Associez $\frac{\cos (u_{1})}{16}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{16} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.110

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{16} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.111

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{16} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.112

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{16} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.113

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - 1 \cdot 1 \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.114

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.115

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{4} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.116

Associez $- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{4 \cdot 2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.117

Multipliez $4$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{8} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.118

Associez $\frac{\cos (u_{1})}{8}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{8} \cdot \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.119

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{8} \cdot \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.120

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{8} \cdot \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.121

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{8} \cdot \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.122

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{8} \cdot \frac{1}{2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.123

Associez $- \frac{\cos^{2} (u_{1})}{8}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{8 \cdot 2} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.124

Multipliez $8$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - 1 (\frac{1}{4}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.125

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - 1 \frac{\cos (u_{1})}{4} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.126

Associez $- 1 \frac{\cos (u_{1})}{4}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos (u_{1})}{4}}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.127

Associez $\frac{- 1 \frac{\cos (u_{1})}{4}}{2}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.128

Associez $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.129

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.130

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.131

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.132

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.133

Multipliez $\frac{- 1 \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.134

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.3.135

Associez $\frac{- 1 \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}}{4}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Étape 6.3.136

Associez $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ et $\cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4}}{4} d u_{1}$

Étape 6.3.137

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{2} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4}}{4} d u_{1}$

Étape 6.3.138

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{{\cos (u_{1})}^{2 + 1}}{4}}{4} d u_{1}$

Étape 6.3.139

Additionnez $2$ et $1$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} d u_{1}$

Étape 6.3.140

Soustrayez $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{16}$ de $- \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} - 2 \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} d u_{1}$

Étape 6.3.141

Associez $- 2$ et $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{16}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{- 2 \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} d u_{1}$

Étape 6.3.142

Remettez dans l’ordre $\frac{2 \cos (u_{1})}{16}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{16}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{- 2 \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} d u_{1}$

Étape 6.3.143

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{16}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{16}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{- 2 \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} d u_{1}$

Étape 6.3.144

Remettez dans l’ordre $\frac{- 2 \cos^{2} (u_{1})}{16}$ et $\frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} + \frac{- 2 \cos^{2} (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 6.3.145

Déplacez $- \frac{\cos (u_{1})}{16}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} + \frac{- 2 \cos^{2} (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 6.3.146

Déplacez $\frac{2 \cos (u_{1})}{16}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} + \frac{- 2 \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 6.3.147

Déplacez $\frac{1}{16}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} + \frac{- 2 \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 6.3.148

Remettez dans l’ordre $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{16}$ et $\frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{- 2 \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 6.3.149

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1}) - 2 \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 6.3.150

Soustrayez $2 \cos^{2} (u_{1})$ de $\cos^{2} (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} + \frac{- \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1})}{16} - \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 6.3.151

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} + \frac{- \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{2 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 6.3.152

Soustrayez $\cos (u_{1})$ de $2 \cos (u_{1})$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} + \frac{- \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Réécrivez $- 1 \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}$ comme $- \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{- \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4} + \frac{- \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $\frac{- \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}}{4}$ comme un produit.

$5 \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{- \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 6.4.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{\cos^{3} (u_{1})}{4}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4 \cdot 4} + \frac{- \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 6.4.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$5 \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{3} (u_{1})}{16} + \frac{- \cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 6.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{3} (u_{1})}{16} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} + \frac{1}{16} + \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1}$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$5 (\int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{3} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{3} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 9

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- (\frac{1}{16} \int_{0}^{2 π} \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 10

Factorisez $\cos^{2} (u_{1})$ .

$5 (- \frac{1}{16} \int_{0}^{2 π} \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 11

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ comme $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$5 (- \frac{1}{16} \int_{0}^{2 π} (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 12

Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , donc $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 12.1

Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 12.1.1

Différenciez $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Étape 12.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Étape 12.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 12.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 12.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{upper} = \sin (2 π)$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Étape 12.5.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 12.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Étape 12.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$5 (- \frac{1}{16} \int_{0}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 13

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$5 (- \frac{1}{16} (\int_{0}^{0} d u_{2} + \int_{0}^{0} - {u_{2}}^{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} + \int_{0}^{0} - {u_{2}}^{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - \int_{0}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 16

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{0})) + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 17

Associez $\frac{1}{3}$ et ${u_{2}}^{3}$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 18

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 19

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - (\frac{1}{16} \int_{0}^{2 π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 20

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{16} \int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 21

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{16} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 22

Simplifiez

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Étape 22.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{16}$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{2 \cdot 16} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 22.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{32} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 23

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{32} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 24

Appliquez la règle de la constante.

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 25

Laissez $u_{3} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{3} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 25.1

Laissez $u_{3} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{1}}$ .

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Étape 25.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 25.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 25.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 25.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 25.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{3} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 25.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 25.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{3} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Étape 25.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Étape 25.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Étape 25.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ , $d u_{3}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 26

Associez $\cos (u_{3})$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 27

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 28

L’intégrale de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sin (u_{3})$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})]_{0}^{4 π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 29

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{16} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 30

Appliquez la règle de la constante.

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) + \frac{1}{16} u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 31

Associez $\frac{1}{16}$ et $u_{1}$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{16} d u_{1})$

Étape 32

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{16}$ en dehors de l’intégrale.

Étape 33

L’intégrale de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sin (u_{1})$ .

Étape 34

Simplifiez

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Étape 34.1

Associez $\frac{1}{16}$ et $\sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$ .

Étape 34.2

Pour écrire $- \frac{1}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) - \frac{1}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) \cdot \frac{16}{16} + \frac{\sin (u_{1})]_{0}^{2 π}}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 34.3

Associez $- \frac{1}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2})$ et $\frac{16}{16}$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) + \frac{- \frac{1}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) \cdot 16}{16} + \frac{\sin (u_{1})]_{0}^{2 π}}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 34.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) + \frac{- \frac{1}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) \cdot 16 + \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 34.5

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) + \frac{- 16 (\frac{1}{32}) (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) + \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 34.6

Associez $- 16$ et $\frac{1}{32}$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) + \frac{\frac{- 16}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) + \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 34.7

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $32$ .

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Étape 34.7.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) + \frac{\frac{16 (- 1)}{32} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) + \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 34.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 34.7.2.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) + \frac{\frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 2} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) + \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 34.7.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 34.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) + \frac{\frac{- 1}{2} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) + \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 34.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- \frac{1}{16} (u_{2}]_{0}^{0} - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) + \frac{- \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) + \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 35

Remplacez et simplifiez.

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Étape 35.1

Évaluez $u_{2}$ sur $0$ et sur $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} ((0) + 0 - (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{0}^{0})) + \frac{- \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) + \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 35.2

Évaluez $\frac{{u_{2}}^{3}}{3}$ sur $0$ et sur $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} ((0) + 0 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})) + \frac{- \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) + \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 35.3

Évaluez $u_{1}$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} ((0) + 0 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{\sin (u_{3})]_{0}^{4 π}}{2}) + \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 35.4

Évaluez $\sin (u_{3})$ sur $4 π$ et sur $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} ((0) + 0 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 35.5

Évaluez $\sin (u_{1})$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} ((0) + 0 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + \frac{u_{1}}{16}]_{0}^{2 π})$

Étape 35.6

Évaluez $\frac{u_{1}}{16}$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} ((0) + 0 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7

Simplifiez

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Étape 35.7.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} (0 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} (0 - (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 35.7.3.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} (0 - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 35.7.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$5 (- \frac{1}{16} (0 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 35.7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (- \frac{1}{16} (0 - (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$5 (- \frac{1}{16} (0 - (0 - \frac{0^{3}}{3})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} (0 - (0 - \frac{0}{3})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.5

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 35.7.5.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} (0 - (0 - \frac{3 (0)}{3})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 35.7.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$5 (- \frac{1}{16} (0 - (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (- \frac{1}{16} (0 - (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (- \frac{1}{16} (0 - (0 - \frac{0}{1})) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.5.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$5 (- \frac{1}{16} (0 - (0 - 0)) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} (0 - (0 + 0)) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} (0 - 0) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} (0 + 0) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$5 (- \frac{1}{16} \cdot 0 + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.10

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{16}) + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.11

Multipliez $0$ par $\frac{1}{16}$ .

$5 (0 + \frac{- \frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.12

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$5 (0 + \frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{(\sin (4 π)) - \sin (0)}{2}) + (\sin (2 π)) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.13

Soustrayez $- \frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16}$ de $0$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16} + (\frac{2 π}{16}) - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.14

Annulez le facteur commun à $2$ et $16$ .

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Étape 35.7.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16} + \frac{2 (π)}{16} - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 35.7.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16} + \frac{2 π}{2 \cdot 8} - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16} + \frac{2 π}{2 \cdot 8} - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16} + \frac{π}{8} - \frac{0}{16})$

Étape 35.7.15

Annulez le facteur commun à $0$ et $16$ .

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Étape 35.7.15.1

Factorisez $16$ à partir de $0$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16} + \frac{π}{8} - \frac{16 (0)}{16})$

Étape 35.7.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 35.7.15.2.1

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16} + \frac{π}{8} - \frac{16 \cdot 0}{16 \cdot 1})$

Étape 35.7.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16} + \frac{π}{8} - \frac{16 \cdot 0}{16 \cdot 1})$

Étape 35.7.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16} + \frac{π}{8} - \frac{0}{1})$

Étape 35.7.15.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16} + \frac{π}{8} - 0)$

Étape 35.7.16

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16} + \frac{π}{8} + 0)$

Étape 35.7.17

Additionnez $\frac{π}{8}$ et $0$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - \sin (0)}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 36

Simplifiez

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Étape 36.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - 0}{2}) + \sin (2 π) - \sin (0)}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 36.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) - 0}{2}) + \sin (2 π) - 0}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 36.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π) + 0}{2}) + \sin (2 π) - 0}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 36.4

Additionnez $\sin (4 π)$ et $0$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \sin (2 π) - 0}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 36.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \sin (2 π) + 0}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 36.6

Additionnez $- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \sin (2 π)$ et $0$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \sin (2 π)}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 37

Simplifiez

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Étape 37.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 37.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 37.1.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (0)}{2}) + \sin (2 π)}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 37.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + \frac{0}{2}) + \sin (2 π)}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 37.1.2

Divisez $0$ par $2$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π + 0) + \sin (2 π)}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 37.2

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$5 (\frac{- \frac{1}{2} (2 π) + \sin (2 π)}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 37.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 37.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$5 (\frac{\frac{- 1}{2} (2 π) + \sin (2 π)}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 37.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$5 (\frac{\frac{- 1}{2} (2 (π)) + \sin (2 π)}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 37.3.3

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{\frac{- 1}{2} (2 π) + \sin (2 π)}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 37.3.4

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{- π + \sin (2 π)}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 37.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 37.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 37.4.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$5 (\frac{- π + \sin (0)}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 37.4.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$5 (\frac{- π + 0}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 37.4.1.3

Additionnez $- π$ et $0$ .

$5 (\frac{- π}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 37.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- \frac{π}{16} + \frac{π}{8})$

Étape 37.5

Pour écrire $\frac{π}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 (- \frac{π}{16} + \frac{π}{8} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 37.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 37.6.1

Multipliez $\frac{π}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$5 (- \frac{π}{16} + \frac{π \cdot 2}{8 \cdot 2})$

Étape 37.6.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$5 (- \frac{π}{16} + \frac{π \cdot 2}{16})$

Étape 37.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{- π + π \cdot 2}{16}$

Étape 37.8

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$5 \frac{- π + 2 \cdot π}{16}$

Étape 37.9

Additionnez $- π$ et $2 π$ .

$5 \frac{π}{16}$

Étape 37.10

Associez $5$ et $\frac{π}{16}$ .

$\frac{5 π}{16}$

Étape 38

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5 π}{16}$

Forme décimale :

$0.98174770 \dots$