Calcul infinitésimal Exemples

$y = arccsc (x^{2} + 1)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arccsc (x^{2} + 1))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arccsc (x)$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $arccsc (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x + 0)$

Étape 3.2.4

Associez les fractions.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x)$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Étape 3.2.4.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 2}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Étape 3.2.4.4

Associez $\frac{- 2}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

Étape 3.2.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1^{2}}}$

Étape 3.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2} + 1$ et $b = 1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 1 + 1) (x^{2} + 1 - 1)}}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1.3.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) (x^{2} + 1 - 1)}}$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}}$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) x^{2}}}$

Étape 3.3.1.4

Remettez dans l’ordre $x^{2} + 2$ et $x^{2}$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} (x^{2} + 2)}}$

Étape 3.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Étape 3.3.3

Multipliez $\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$- (\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}})$

Étape 3.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.4.1

Multipliez $\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2}}$

Étape 3.3.4.2

Déplacez $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Étape 3.3.4.3

Élevez $\sqrt{x^{2} + 2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Étape 3.3.4.4

Élevez $\sqrt{x^{2} + 2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

Étape 3.3.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

Étape 3.3.4.7

Réécrivez ${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ comme $x^{2} + 2$ .

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Étape 3.3.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 2}$ comme ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

Étape 3.3.4.7.5

Simplifiez

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$