Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{1} (4 x^{2} - 2 x + 3) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{2} - 2 x + 3 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - 2 x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - 2 x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 2 x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 2 x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Étape 6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - 2 \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 3 x]_{- 2}^{1}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 3 x]_{- 2}^{1}$

Étape 10.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 2}^{1}$

Étape 10.3

Évaluez $3 x$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$4 (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.5

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $1$ .

$4 (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{1 + 8}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.7

Additionnez $1$ et $8$ .

$4 (\frac{9}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.8

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 10.4.8.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$4 \frac{3 \cdot 3}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$4 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{3}{1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.8.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$4 \cdot 3 - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.9

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.11

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.12

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.4.12.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.12.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.13

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - 2) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.14

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.15

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 - 2 \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.17.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$12 - 2 \frac{1 - 4}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.17.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$12 - 2 (\frac{- 3}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 - 2 (- \frac{3}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.19

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$12 + 2 (\frac{3}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.20

Associez $2$ et $\frac{3}{2}$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.21

Multipliez $2$ par $3$ .

$12 + \frac{6}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.22

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 10.4.22.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.22.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.22.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.22.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.22.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 + \frac{3}{1} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.22.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$12 + 3 + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.23

Additionnez $12$ et $3$ .

$15 + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.24

Multipliez $3$ par $1$ .

$15 + 3 - 3 \cdot - 2$

Étape 10.4.25

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$15 + 3 + 6$

Étape 10.4.26

Additionnez $3$ et $6$ .

$15 + 9$

Étape 10.4.27

Additionnez $15$ et $9$ .

$24$

Étape 11