Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{2 x + y}{x + 2 y}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{2 x + y}{x + 2 y}] + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x + y$ et $g (x) = x + 2 y$ .

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d x} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{(x + 2 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{(x + 2 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{(x + 2 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{(x + 2 y) (2 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{(x + 2 y) (2 + 0) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- \frac{(x + 2 y) \cdot 2 - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + 2 y$ .

$- \frac{2 \cdot (x + 2 y) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$- \frac{2 (x + 2 y) - (2 x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{2 (x + 2 y) - (2 x + y) (1 + \frac{d}{d x} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.9

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2 (x + 2 y) - (2 x + y) (1 + 0)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{2 (x + 2 y) - (2 x + y) \cdot 1}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{2 (x + 2 y) - (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2 (x + 2 y) - (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \cdot 0$

Étape 3.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.12.1

Multipliez $\frac{2 x + y}{x + 2 y}$ par $0$ .

$- \frac{2 (x + 2 y) - (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + 0$

Étape 3.12.2

Additionnez $- \frac{2 (x + 2 y) - (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$ et $0$ .

$- \frac{2 (x + 2 y) - (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 x + 2 (2 y) - (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 x + 2 (2 y) - (2 x) - y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{2 x + 4 y - (2 x) - y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{2 x + 4 y - 2 x - y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x + 4 y - 2 x - y$ .

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$- \frac{4 y + 0 - y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $4 y$ et $0$ .

$- \frac{4 y - y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Soustrayez $y$ de $4 y$ .

$- \frac{3 y}{{(x + 2 y)}^{2}}$