Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{a} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x = \frac{1}{5}$

Étape 1

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + a$

Étape 1.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + a$

Étape 1.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{1 + a} \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{1 + a} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{- 2} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{1}^{1 + a}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $1 + a$ et sur $1$ .

$(- {(1 + a)}^{- 1}) + 1^{- 1}$

Étape 4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- {(1 + a)}^{- 1} + 1$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{1 + a} + 1$

Étape 5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{1 + a} + \frac{1 + a}{1 + a}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 1 + a}{1 + a}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0 + a}{1 + a}$

Étape 5.4.2

Additionnez $0$ et $a$ .

$\frac{a}{1 + a}$