Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 - 4 x$ . Alors $d u = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$0 - 4$

Étape 2.1.4

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 - 4 x$ .

$u_{lower} = 3 - 4 t$

Étape 2.3

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 - 4 x$ .

$u_{upper} = 3 - 4 \cdot 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$u_{upper} = 3 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 3 - 4 t$

$u_{upper} = 3$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Étape 3.3

Déplacez $4$ à gauche de $u$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{4 u} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{4 u} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{4} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$

Étape 7

Associez $\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$ et $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}}{4}$

Étape 8

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $3$ et sur $3 - 4 t$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| 3 |) - \ln (| 3 - 4 t |)}{4}$

Étape 9

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Étape 10

Comme la fonction $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ approche de $- \infty$ , la constante négative $- 1$ fois la fraction approche de $\infty$ .

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Étape 10.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $- 1$ retiré.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Étape 10.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{t \to - \infty} \ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Étape 10.3

Lorsque $t$ approche de $- \infty$ depuis l’un des côtés, $\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})$ diminue sans borne.

$\frac{- \infty}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Étape 10.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \infty}{4}$

Étape 10.5

L’infini divisé par toute valeur finie et non nulle est l’infini.

$- \infty$

Étape 10.6

Comme la fonction $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ approche de $- \infty$ , la constante négative $- 1$ fois la fraction approche de $\infty$ .

$\infty$