Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} (5 x - 4 x^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 5 x - 4 x^{2}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [5 x - 4 x^{2}] + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$x^{4} (5 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} (5 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{4} (5 - 4 (2 x)) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$x^{4} (5 - 8 x) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} (5 - 8 x) + (5 x - 4 x^{2}) (4 x^{3})$

Étape 2.9

Déplacez $4$ à gauche de $5 x - 4 x^{2}$ .

$x^{4} (5 - 8 x) + 4 \cdot (5 x - 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} \cdot 5 + x^{4} (- 8 x) + 4 (5 x - 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} \cdot 5 + x^{4} (- 8 x) + (4 (5 x) + 4 (- 4 x^{2})) x^{3}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} \cdot 5 + x^{4} (- 8 x) + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Déplacez $5$ à gauche de $x^{4}$ .

$5 \cdot x^{4} + x^{4} (- 8 x) + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3.4.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.2.1

Déplacez $x$ .

$5 x^{4} + x \cdot x^{4} \cdot - 8 + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 3.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 x^{4} + x^{1} x^{4} \cdot - 8 + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{4} + x^{1 + 4} \cdot - 8 + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3.4.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$5 x^{4} + x^{5} \cdot - 8 + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3.4.3

Déplacez $- 8$ à gauche de $x^{5}$ .

$5 x^{4} - 8 \cdot x^{5} + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3.4.4

Multipliez $5$ par $4$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x \cdot x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3.4.5

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.5.1

Déplacez $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 (x^{3} x) + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3.4.5.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 3.4.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 (x^{3} x^{1}) + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3.4.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x^{3 + 1} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3.4.5.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x^{4} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 3.4.6

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x^{4} - 16 x^{2} x^{3}$

Étape 3.4.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x^{4} - 16 (x^{3} x^{2})$

Étape 3.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x^{4} - 16 x^{3 + 2}$

Étape 3.4.7.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x^{4} - 16 x^{5}$

Étape 3.4.8

Additionnez $5 x^{4}$ et $20 x^{4}$ .

$- 8 x^{5} + 25 x^{4} - 16 x^{5}$

Étape 3.4.9

Soustrayez $16 x^{5}$ de $- 8 x^{5}$ .

$- 24 x^{5} + 25 x^{4}$