Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} (x^{2} + \frac{1}{9}) (x - \frac{1}{3})$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} x^{2} + \frac{1}{9} \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{3}$ .

$(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Étape 4

Évaluez la limite de $\frac{1}{9}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{3}$ .

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{3}$ .

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{3})$

Étape 6

Évaluez la limite de $\frac{1}{3}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{3}$ .

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3})$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $- \frac{1}{3}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{1}{3}$ pour $x$ .

$({(- \frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3})$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{1}{3}$ pour $x$ .

$({(- \frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 8.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 8.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$(1 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 8.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$(\frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 8.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(\frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 8.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(\frac{1}{9} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 1}{9} \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 8.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{9} \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{9} \cdot \frac{- 1 - 1}{3}$

Étape 8.5

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{- 2}{3}$

Étape 8.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{9} \cdot (- \frac{2}{3})$

Étape 8.7

Multipliez $\frac{2}{9} (- \frac{2}{3})$ .

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Étape 8.7.1

Multipliez $\frac{2}{9}$ par $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Étape 8.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{4}{9 \cdot 3}$

Étape 8.7.3

Multipliez $9$ par $3$ .

$- \frac{4}{27}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{4}{27}$

Forme décimale :

$- 0.\overline{148}$