Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (5 x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}$

Étape 1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}$

Étape 1.3

Lorsque $x$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Étape 3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Étape 3.4

Associez $5$ et $\frac{1}{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Étape 3.8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x}$ comme ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 3.9

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 3.10

Appliquez la règle de produit à $5 (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 3.11

Comme $5^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Étape 3.13

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Étape 3.14

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 3.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.16.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Étape 3.16.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Étape 3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Étape 3.18

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 3.19

Associez $5^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 3.20

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 5.1

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{5^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Réécrivez $5^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{5}}$

Étape 6

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{5}}$

Étape 7

Réduisez.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{5}}$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \sqrt{5}}$

Étape 7.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x \sqrt{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x (\sqrt{5})}$

Étape 7.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \sqrt{5}}$

Étape 7.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 7.4

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{5} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8

Placez le terme $\frac{2}{\sqrt{5}}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ approche de $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot 0$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \cdot 0$

Étape 10.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} \cdot 0$

Étape 10.2.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} \cdot 0$

Étape 10.2.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} \cdot 0$

Étape 10.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} \cdot 0$

Étape 10.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} \cdot 0$

Étape 10.2.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 10.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 0$

Étape 10.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 0$

Étape 10.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

Étape 10.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

Étape 10.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}} \cdot 0$

Étape 10.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot 0$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ par $0$ .

$0$