Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 5}^{2} (x^{2} + 3 x - 10) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 5}^{2} x^{2} + 3 x - 10 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 5}^{2} x^{2} d x + \int_{- 5}^{2} 3 x d x + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + \int_{- 5}^{2} 3 x d x + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + 3 \int_{- 5}^{2} x d x + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{2}) + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{2}) + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{2}) + - 10 x]_{- 5}^{2}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2}$ et $- 10 x]_{- 5}^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 10 x]_{- 5}^{2}$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $- 5$ .

$3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 10 x]_{- 5}^{2}$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} - 10 x$ sur $2$ et sur $- 5$ .

$3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$3 (2 - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.3

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$3 (2 - \frac{25}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.5

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{2 \cdot 2 - 25}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.7.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 \frac{4 - 25}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.7.2

Soustrayez $25$ de $4$ .

$3 (\frac{- 21}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{21}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 (\frac{21}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.10

Associez $- 3$ et $\frac{21}{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot 21}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.11

Multipliez $- 3$ par $21$ .

$\frac{- 63}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{63}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.13

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{1}{3} \cdot 8 - 10 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.14

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8}{3} - 10 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.15

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8}{3} - 20 - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.16

Pour écrire $- 20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.17

Associez $- 20$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{63}{2} + \frac{8 - 20 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.19.1

Multipliez $- 20$ par $3$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8 - 60}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.19.2

Soustrayez $60$ de $8$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{- 52}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.21

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 125 - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.22

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 125$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (\frac{- 125}{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (- \frac{125}{3} - 10 \cdot - 5)$

Étape 8.2.3.24

Multipliez $- 10$ par $- 5$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (- \frac{125}{3} + 50)$

Étape 8.2.3.25

Pour écrire $50$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (- \frac{125}{3} + 50 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 8.2.3.26

Associez $50$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (- \frac{125}{3} + \frac{50 \cdot 3}{3})$

Étape 8.2.3.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - \frac{- 125 + 50 \cdot 3}{3}$

Étape 8.2.3.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.28.1

Multipliez $50$ par $3$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - \frac{- 125 + 150}{3}$

Étape 8.2.3.28.2

Additionnez $- 125$ et $150$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - \frac{25}{3}$

Étape 8.2.3.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{63}{2} + \frac{- 52 - 25}{3}$

Étape 8.2.3.30

Soustrayez $25$ de $- 52$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{- 77}{3}$

Étape 8.2.3.31

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{63}{2} - \frac{77}{3}$

Étape 8.2.3.32

Pour écrire $- \frac{63}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{77}{3}$

Étape 8.2.3.33

Pour écrire $- \frac{77}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{63}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{77}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 8.2.3.34

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.3.34.1

Multipliez $\frac{63}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{77}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 8.2.3.34.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{63 \cdot 3}{6} - \frac{77}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 8.2.3.34.3

Multipliez $\frac{77}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{63 \cdot 3}{6} - \frac{77 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 8.2.3.34.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{63 \cdot 3}{6} - \frac{77 \cdot 2}{6}$

Étape 8.2.3.35

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 63 \cdot 3 - 77 \cdot 2}{6}$

Étape 8.2.3.36

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.36.1

Multipliez $- 63$ par $3$ .

$\frac{- 189 - 77 \cdot 2}{6}$

Étape 8.2.3.36.2

Multipliez $- 77$ par $2$ .

$\frac{- 189 - 154}{6}$

Étape 8.2.3.36.3

Soustrayez $154$ de $- 189$ .

$\frac{- 343}{6}$

Étape 8.2.3.37

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{343}{6}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{343}{6}$

Forme décimale :

$- 57.1\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$- 57 \frac{1}{6}$

Étape 10