Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Étape 1

Placez le terme $- 4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 4 lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (- x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} - x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Étape 4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

Étape 6

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

Étape 7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (- 2 x)}$

Étape 8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} - 2 x)}$

Étape 9

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{3}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{3}$ pour $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{3}$ pour $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 4 \frac{\cos (\frac{5 π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Étape 11.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 4 \frac{\cos (\frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Étape 11.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{- 2 π}{3})}$

Étape 11.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- \frac{2 π}{3})}$

Étape 11.2.3

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{4 π}{3})}$

Étape 11.2.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))}$

Étape 11.2.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Étape 11.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Étape 11.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Étape 11.2.6.3

Annulez le facteur commun.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Étape 11.2.6.4

Réécrivez l’expression.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - - \sqrt{3}}$

Étape 11.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 1 \sqrt{3}}$

Étape 11.2.8

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + \sqrt{3}}$

Étape 11.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 + \sqrt{3}})$

Étape 11.4

Multipliez $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))$

Étape 11.5

Multipliez $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})$

Étape 11.6

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})$

Étape 11.7

Simplifiez

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6})$

Étape 11.8

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ .

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{2 \cdot 6}$

Étape 11.8.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

Étape 11.9

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.9.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

Étape 11.9.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Étape 11.9.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Étape 11.9.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$- 0.42264973 \dots$