Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{w^{3} + w^{2} + w}{w^{3}} d w$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $w$ à partir de $w^{3} + w^{2} + w$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $w$ à partir de $w^{3}$ .

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w^{2} + w}{w^{3}} d w$

Étape 1.1.2

Factorisez $w$ à partir de $w^{2}$ .

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w}{w^{3}} d w$

Étape 1.1.3

Élevez $w$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w^{1}}{w^{3}} d w$

Étape 1.1.4

Factorisez $w$ à partir de $w^{1}$ .

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w \cdot 1}{w^{3}} d w$

Étape 1.1.5

Factorisez $w$ à partir de $w \cdot w^{2} + w \cdot w$ .

$\int \frac{w (w^{2} + w) + w \cdot 1}{w^{3}} d w$

Étape 1.1.6

Factorisez $w$ à partir de $w (w^{2} + w) + w \cdot 1$ .

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w^{3}} d w$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $w$ à partir de $w^{3}$ .

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{w^{2} + w + 1}{w^{2}} d w$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $w^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (w^{2} + w + 1) {(w^{2})}^{- 1} d w$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(w^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (w^{2} + w + 1) w^{2 \cdot - 1} d w$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (w^{2} + w + 1) w^{- 2} d w$

Étape 3

Développez $(w^{2} + w + 1) w^{- 2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (w^{2} + w) w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int w^{2} w^{- 2} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int w^{2 - 2} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Étape 3.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int w^{0} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Étape 3.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 1 + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Étape 3.6

Élevez $w$ à la puissance $1$ .

$\int 1 + w^{1} w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 1 + w^{1 - 2} + 1 w^{- 2} d w$

Étape 3.8

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\int 1 + w^{- 1} + 1 w^{- 2} d w$

Étape 3.9

Multipliez $w^{- 2}$ par $1$ .

$\int 1 + w^{- 1} + w^{- 2} d w$

Étape 3.10

Remettez dans l’ordre $1$ et $w^{- 1}$ .

$\int w^{- 1} + 1 + w^{- 2} d w$

Étape 3.11

Déplacez $1$ .

$\int w^{- 1} + w^{- 2} + 1 d w$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int w^{- 1} d w + \int w^{- 2} d w + \int d w$

Étape 5

L’intégrale de $w^{- 1}$ par rapport à $w$ est $\ln (| w |)$ .

$\ln (| w |) + C + \int w^{- 2} d w + \int d w$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w^{- 2}$ par rapport à $w$ est $- w^{- 1}$ .

$\ln (| w |) + C - w^{- 1} + C + \int d w$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| w |) + C - w^{- 1} + C + w + C$

Étape 8

Simplifiez

$\ln (| w |) - \frac{1}{w} + w + C$