Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cot^{2} (\sin (θ))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{2}$ et $g (θ) = \cot (\sin (θ))$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cot (\sin (θ))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cot (\sin (θ))$ .

$2 \cot (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \cot (θ)$ et $g (θ) = \sin (θ)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (θ)$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (θ)$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Étape 3

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Étape 4.3

Réécrivez $\csc (\sin (θ))$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 2 {(\frac{1}{\sin (\sin (θ))})}^{2} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ .

$- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Étape 4.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Étape 4.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Étape 4.8

Associez $\cos (θ)$ et $\frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$- \frac{\cos (θ) \cdot 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

Étape 4.9

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (θ)$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

Étape 4.10

Réécrivez $\cot (\sin (θ))$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$

Étape 4.11

Multipliez $- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ .

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Étape 4.11.1

Multipliez $\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ par $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Étape 4.11.2

Multipliez $\sin (\sin (θ))$ par $\sin^{2} (\sin (θ))$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.2.1

Multipliez $\sin (\sin (θ))$ par $\sin^{2} (\sin (θ))$ .

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Étape 4.11.2.1.1

Élevez $\sin (\sin (θ))$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{1} (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Étape 4.11.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{{\sin (\sin (θ))}^{1 + 2}}$

Étape 4.11.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

Étape 4.12

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (\sin (θ))$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

Étape 4.13

Factorisez $\sin (\sin (θ))$ à partir de $\sin^{3} (\sin (θ))$ .

$- \frac{2 \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Étape 4.14

Séparez les fractions.

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))})$

Étape 4.15

Convertissez de $\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ à $\cot (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.16

Factorisez $\sin (\sin (θ))$ à partir de $\sin^{2} (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.17

Séparez les fractions.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.18

Réécrivez $\frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))}$ comme un produit.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.19

Écrivez $\cos (θ)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\frac{\cos (θ)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.20

Simplifiez

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Étape 4.20.1

Divisez $\cos (θ)$ par $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.20.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ à $\csc (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.21

Séparez les fractions.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.22

Convertissez de $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ à $\csc (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2}{1} \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.23

Divisez $2$ par $1$ .

$- (2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.24

Multipliez $2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ)))$ .

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Étape 4.24.1

Élevez $\csc (\sin (θ))$ à la puissance $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.24.2

Élevez $\csc (\sin (θ))$ à la puissance $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc^{1} (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.24.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (2 {\csc (\sin (θ))}^{1 + 1} \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.24.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Étape 4.25

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$