Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 2 \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.4

Réécrivez $4 \sec^{2} (t)$ comme ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2 \sec (t)$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $2 \sec (t)$ à partir de ${(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $2 \sec (t)$ à partir de $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Étape 2.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{2 \sec (t) {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Étape 2.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 \tan (t))}^{2}} d t$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 (\tan (t)))}^{2}} d t$

Étape 2.2.3.2

Appliquez la règle de produit à $2 (\tan (t))$ .

$\int \frac{\sec (t)}{2^{2} \tan^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $\sec (x)$ comme $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Étape 4.2

Appliquez l’identité réciproque.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 4.3.2

Associez.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 4.3.3

Multipliez $\csc (t)$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 4.3.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 4.3.5

Associez $\cot (t)$ et $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 4.3.6

Réduisez l’expression $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.6.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 4.3.6.2

Factorisez $\cot (t)$ à partir de ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Étape 4.3.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Étape 4.3.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Étape 4.3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Étape 5

Comme la dérivée de $- \csc (t)$ est $\csc (t) \cot (t)$ , l’intégrale de $\csc (t) \cot (t)$ est $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (\arctan (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{x}{2})$ . Ainsi, $\csc (\arctan (\frac{x}{2}))$ est $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Étape 8.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.7

Réécrivez $\frac{4 + x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

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Étape 8.1.7.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $4 + x^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.7.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.7.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Étape 8.1.10

Associez.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

Étape 8.1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

Étape 8.1.11.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Étape 8.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Étape 8.3

Associez.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

Étape 8.4

Multipliez $\sqrt{4 + x^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

Étape 8.5

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{4 x} + C$