Calcul infinitésimal Exemples

$y \cos (2 x - 4 y) = - 2 x y - 4$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y \cos (2 x - 4 y)) = \frac{d}{d x} (- 2 x y - 4)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = \cos (2 x - 4 y)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (2 x - 4 y)] + \cos (2 x - 4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x - 4 y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 4 y$ .

$y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 4 y]) + \cos (2 x - 4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$y (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - 4 y]) + \cos (2 x - 4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 4 y$ .

$y (- \sin (2 x - 4 y) \frac{d}{d x} [2 x - 4 y]) + \cos (2 x - 4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 4 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$y (- \sin (2 x - 4 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y])) + \cos (2 x - 4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (- \sin (2 x - 4 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y])) + \cos (2 x - 4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (- \sin (2 x - 4 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 y])) + \cos (2 x - 4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$y (- \sin (2 x - 4 y) (2 + \frac{d}{d x} [- 4 y])) + \cos (2 x - 4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$y (- \sin (2 x - 4 y) (2 - 4 \frac{d}{d x} [y])) + \cos (2 x - 4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y (- \sin (2 x - 4 y) (2 - 4 y')) + \cos (2 x - 4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y (- \sin (2 x - 4 y) (2 - 4 y')) + \cos (2 x - 4 y) y'$

Étape 2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y \sin (2 x - 4 y) (2 - 4 y') + \cos (2 x - 4 y) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x y - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 (x y' + y) + 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (x y') - 2 y + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $- 2 x y' - 2 y$ et $0$ .

$- 2 x y' - 2 y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- y \sin (2 x - 4 y) (2 - 4 y') + \cos (2 x - 4 y) y' = - 2 x y' - 2 y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $- y \sin (2 x - 4 y) (2 - 4 y') + \cos (2 x - 4 y) y'$ .

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Étape 5.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y \sin (2 x - 4 y) \cdot 2 - y \sin (2 x - 4 y) (- 4 y') + \cos (2 x - 4 y) y' = - 2 x y' - 2 y$

Étape 5.1.1.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 y \sin (2 x - 4 y) - y \sin (2 x - 4 y) (- 4 y') + \cos (2 x - 4 y) y' = - 2 x y' - 2 y$

Étape 5.1.1.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- 2 y \sin (2 x - 4 y) + 4 y \sin (2 x - 4 y) y' + \cos (2 x - 4 y) y' = - 2 x y' - 2 y$

Étape 5.1.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 y \sin (2 x - 4 y) + 4 y \sin (2 x - 4 y) y' + \cos (2 x - 4 y) y'$ .

$- 2 y \sin (2 x - 4 y) + 4 y y' \sin (2 x - 4 y) + y' \cos (2 x - 4 y) = - 2 x y' - 2 y$

Étape 5.2

Ajoutez $2 x y'$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 y \sin (2 x - 4 y) + 4 y y' \sin (2 x - 4 y) + y' \cos (2 x - 4 y) + 2 x y' = - 2 y$

Étape 5.3

Ajoutez $2 y \sin (2 x - 4 y)$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y y' \sin (2 x - 4 y) + y' \cos (2 x - 4 y) + 2 x y' = - 2 y + 2 y \sin (2 x - 4 y)$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $4 y y' \sin (2 x - 4 y) + y' \cos (2 x - 4 y) + 2 x y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $4 y y' \sin (2 x - 4 y)$ .

$y' (4 y \sin (2 x - 4 y)) + y' (\cos (2 x - 4 y)) + 2 x y' = - 2 y + 2 y \sin (2 x - 4 y)$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cos (2 x - 4 y)$ .

$y' (4 y \sin (2 x - 4 y)) + y' (\cos (2 x - 4 y)) + 2 x y' = - 2 y + 2 y \sin (2 x - 4 y)$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $2 x y'$ .

$y' (4 y \sin (2 x - 4 y)) + y' (\cos (2 x - 4 y)) + y' (2 x) = - 2 y + 2 y \sin (2 x - 4 y)$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (4 y \sin (2 x - 4 y)) + y' (\cos (2 x - 4 y))$ .

$y' (4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y)) + y' (2 x) = - 2 y + 2 y \sin (2 x - 4 y)$

Étape 5.4.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y)) + y' (2 x)$ .

$y' (4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x) = - 2 y + 2 y \sin (2 x - 4 y)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x) = - 2 y + 2 y \sin (2 x - 4 y)$ par $4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x) = - 2 y + 2 y \sin (2 x - 4 y)$ par $4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x$ .

$\frac{y' (4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x)}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x} = \frac{- 2 y}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x} + \frac{2 y \sin (2 x - 4 y)}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x} + \frac{2 y \sin (2 x - 4 y)}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x} + \frac{2 y \sin (2 x - 4 y)}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.5.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 y + 2 y \sin (2 x - 4 y)}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$

Étape 5.5.3.2.2

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 y + 2 y \sin (2 x - 4 y)$ .

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Étape 5.5.3.2.2.1

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 y (- 1) + 2 y \sin (2 x - 4 y)}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$

Étape 5.5.3.2.2.2

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y \sin (2 x - 4 y)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1) + 2 y (\sin (2 x - 4 y))}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$

Étape 5.5.3.2.2.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (- 1) + 2 y (\sin (2 x - 4 y))$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 + \sin (2 x - 4 y))}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$

Étape 5.5.3.2.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (1) + \sin (2 x - 4 y))}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$

Étape 5.5.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (2 x - 4 y)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (1) - 1 (- \sin (2 x - 4 y)))}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$

Étape 5.5.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin (2 x - 4 y))$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (1 - \sin (2 x - 4 y)))}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$

Étape 5.5.3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.2.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{(2 y) (1 - \sin (2 x - 4 y))}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$

Étape 5.5.3.2.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 y) (1 - \sin (2 x - 4 y))}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$ .

$y' = - \frac{2 y (1 - \sin (2 x - 4 y))}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y (1 - \sin (2 x - 4 y))}{4 y \sin (2 x - 4 y) + \cos (2 x - 4 y) + 2 x}$